Question

阅读材料：一般地，如果一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x₁，x₂．那么x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

．我们把一元二次方程的根与系数关系的这个结论称为“韦达定理”．根据这个结论解决下面问题：
已知方程4x²-2x-1=0的两个根为x₁，x₂，不解方程，求下列代数式的值：
（1）

1

x1

+

1

x2

；
（2）x12+x22；
（3）

x2

x1

+

x1

x2

；
（4）(x1-x2)2．

Answer 1

分析：首先根据一元二次方程的根与系数的关系求得x₁+x₂=

1

2

，x₁•x₂=-

1

4

；然后把所求的代数式变形为两根之积或两根之和的形式，将x₁+x₂=

1

2

，x₁•x₂=-

1

4

代入计算即可．

解答：解：∵方程4x²-2x-1=0的两个根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=

1

2

，x₁•x₂=-

1

4

；
（1）原式=

x1+x2

x1x2

=

1 2

- 1 4

=-2；

（2）原式=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=

1

4

-2×（-

1

4

）=

3

4

；

（3）原式=

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

=

3 4

- 1 4

=-3；

（4）原式=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

1

4

-4×（-

1

4

）=

5

4

．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．