题目内容
【题目】如图,在ABCD中,点E是BC边的中点,连接AE并延长与DC的延长线交于F.
(1)求证:CF=CD;
(2)若AF平分∠BAD,连接DE,试判断DE与AF的位置关系,并说明理由.
【答案】(1)见解析(2)DE⊥AF
【解析】
试题分析:(1)根据平行四边形的性质可得到AB∥CD,从而可得到AB∥DF,根据平行线的性质可得到两组角相等,已知点E是BC的中点,从而可根据AAS来判定△BAE≌△CFE,根据全等三角形的对应边相等可证得AB=CF,进而得出CF=CD;
(2)利用全等三角形的判定与性质得出AE=EF,再利用角平分线的性质以及等角对等边求出DA=DF,利用等腰三角形的性质求出即可.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∵点F为DC的延长线上的一点,
∴AB∥DF,
∴∠BAE=∠CFE,∠ECF=∠EBA,
∵E为BC中点,
∴BE=CE,
则在△BAE和△CFE中,
,
∴△BAE≌△CFE(AAS),
∴AB=CF,
∴CF=CD;
(2)解:DE⊥AF,
理由:∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF,
∵∠BAF=∠F,
∴∠DAF=∠F,
∴DA=DF,
又由(1)知△BAE≌△CFE,
∴AE=EF,
∴DE⊥AF.
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