Question

如图，点D，C是半圆周上的三等分点，直径AB=4，过P作PC∥BD交AB的延长线于点P．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）PC与圆O相切，理由为：连接OC，由D，C为半圆周上的三等分点可得出三条弧相等，利用等弧对等角及平角定义，以及圆周角定理求出∠COB=60°，∠DBA=30°，再由PC与BD平行，利用两直线平行同位角相等得到∠CPB=30°，进而确定出三角形COP为直角三角形，即PC垂直于OC，可得出PC为圆O的切线；
（2）阴影部分的面积=三角形OPC的面积-扇形BOC的面积，求出即可．

解答：解：（1）PC与⊙O相切，理由如下：
证明：连接OC，
∵D，C是半圆周上的三等分点
∴

AD

，

DC

，

CB

的度数都为60°，
∴∠COB=60°，∠DBA=30°，
又DB∥PC，
∴∠CPB=∠DBA=30°，
∴∠CPB+∠COB=90°，
∴∠OCP=90°，
∴CO⊥PC，
又∵点C在圆上，
∴PC与⊙O相切；

（2）∵在Rt△OCP中，OC=

1

2

AB=2，∠P=30°，
∴OP=4，根据勾股定理得：PC=2

3

，
∵S_△COP=

1

2

OC•PC=2

3

，S_扇形BOC=

60π×22

360

=

2π

3

，
∴S_阴影=2

3

-

2π

3

．

点评：此题考查了切线的判定，涉及的知识有：圆周角定理，弧，弦及圆心角之间的关系，平行线的性质，扇形面积求法，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．