题目内容
【题目】如图,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)的顶点为E,该抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且BO=OC=3AO,直线y=﹣x+1与y轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)证明:△DBO∽△EBC;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PBC是等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的P点坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)详见解析;(3)符合条件的P点坐标为P(1,﹣1)或P(1,)或P(1,﹣)或P(1,﹣3+)或P(1,﹣3﹣).
【解析】
试题分析:(1)先求出点C的坐标,在由BO=OC=3AO,确定出点B,A的坐标,最后用待定系数法求出抛物线解析式;(2)先求出点A,B,C,D,E的坐标,从而求出BC=3,BE=2,CE=,OD=1,OB=3,BD=,求出比值,得到得出结论;(3)设出点P的坐标,表示出PB,PC,求出BC,分三种情况计算即可.
试题解析:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣3,
∴c=﹣3,
∴C(0,﹣3),
∴OC=3,
∵BO=OC=3AO,
∴BO=3,AO=1,
∴B(3,0),A(﹣1,0),
∵该抛物线与x轴交于A、B两点,
∴,
∴,
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3,
(2)由(1)知,抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴E(1,﹣4),
∵B(3,0),A(﹣1,0),C(0,﹣3),
∴BC=3,BE=2,CE=,
∵直线y=﹣x+1与y轴交于点D,
∴D(0,1),
∵B(3,0),
∴OD=1,OB=3,BD=,
∴,,,
∴,
∴△BCE∽△BDO,
(3)存在,
理由:设P(1,m),
∵B(3,0),C(0,﹣3),
∴BC=3,PB=,PC=,
∵△PBC是等腰三角形,
①当PB=PC时,
∴=,
∴m=﹣1,
∴P(1,﹣1),
②当PB=BC时,
∴3=,
∴m=±,
∴P(1,)或P(1,﹣),
③当PC=BC时,
∴3=,
∴m=﹣3±,
∴P(1,﹣3+)或P(1,﹣3﹣),
∴符合条件的P点坐标为P(1,﹣1)或P(1,)或P(1,﹣)或P(1,﹣3+)或P(1,﹣3﹣).
考点:二次函数的综合题.
【题目】某商场计划采购甲、乙、丙三种型号的“格力”牌空调共25台.三种型号的空调进价和售价如下表:
种类价格 | 甲 | 乙 | 丙 |
进价(元/台) | 1600 | 1800 | 2400 |
售价(元/台) | 1800 | 2050 | 2600 |
商场计划投入总资金5万元,所购进的甲、丙型号空调数量相同,乙型号数量不超过甲型号数量的一半.若设购买甲型号空调x台,所有型号空调全部售出后获得的总利润为W元.
(1)求W与x之间的函数关系式.
(2)商场如何采购空调才能获得最大利润?
(3)由于原材料上涨,商场决定将丙型号空调的售价提高a元(a≥100),其余型号售价不变,则商场又该如何采购才能获得最大利润?