题目内容
（2007•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12）．（1）求此二次函数的表达式；
（2）若直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标xp的取值范围．
【答案】分析：（1）已知了抛物线的顶点横坐标为1，即x=-
=1，将已知的两点坐标代入抛物线中，联立三式即可求出抛物线的解析式．
（2）本题要分两种情况讨论：△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，解题思路都是通过相似三角形得出的关于BD、BC、BO、BA的比例关系式求出BD的长，然后根据∠OBC=45°的特殊条件用BD的长求出D点的坐标．
（3）本题求解的关键是找出几个特殊位置．
①由于∠PCO是锐角，因此要先找出∠PCO是直角时的值，以此来确定P的大致取值范围．去C关于抛物线对称轴的对称点C′（2，3），那么当P、C′重合时，∠PCO=90°，因此∠PCO若为锐角，则P点的横坐标必大于2．
②当∠PCO=∠ACO时，根据A点的坐标和抛物线对称轴的解析式可知：∠ACO=∠ECO，因此直线CE与抛物线的交点（除C外）就是此时P点的位置．据此可求出此时P点的横坐标．
根据上面两种情况进行判定即可．
解答：
解：（1）∵二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12），
∴由
解得
．
∴此二次函数的表达式为y=-x2+2x+3．
（2）假设存在直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似．
在y=-x2+2x+3中，令y=0，则由-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3．
∴A（-1，0），B（3，0）．
令x=0，得y=3．
∴C（0，3）．
设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E．
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（-1，0）．
∴|AB|=4，|OB|=|OC|=3，∠OBC=45°．
∴|BC|=
=3
．
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，
已有∠B=∠B，则只需
，①或
②成立．
若是①，则有|BD|=
=
=
．
而∠OBC=45°，
∴|BE|=|DE|．
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
得|BE|2+|DE|2=2|BE|2=|BD|2=（
）2．
解得|BE|=|DE|=
（负值舍去）．
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-
=
．
∴点D的坐标为（
，
）．
将点D的坐标代入y=kx（k≠0）中，求得k=3．
∴满足条件的直线l的函数表达式为y=3x．
或求出直线AC的函数表达式为y=3x+3，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为y=3x．
此时易知△BOD∽△BAC，再求出直线BC的函数表达式为y=-x+3．联立y=3x，y=-x+3求得点D的坐标为（
，
）．
若是②，则有|BD|=
=
=2
．
而∠OBC=45°，
∴|BE|=|DE|．
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
得|BE|2+|DE|2=2|BE|2=|BD|2=（2
）2．
解得|BE|=|DE|=2（负值舍去）．
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-2=1．
∴点D的坐标为（1，2）．
将点D的坐标代入y=kx（k≠0）中，求得k=2．
∴满足条件的直线l的函数表达式为y=2x．
∴存在直线l：y=3x或y=2x与线段BC交于点D（不与点B，C重合），
使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似，且点D的坐标分别为（
，
）或（1，2）．
（3）设过点C（0，3），E（1，0）的直线y=kx+3（k≠0）与该二次函数的图象交于点P．
将点E（1，0）的坐标代入y=kx+3中，
求得k=-3．
∴此直线的函数表达式为y=-3x+3．
设点P的坐标为（x，-3x+3），
并代入y=-x2+2x+3，得x2-5x=0．
解得x1=5，x2=0（不合题意，舍去）．
∴x=5，y=-12．
∴点P的坐标为（5，-12）．
此时，锐角∠PCO=∠ACO．
又∵二次函数的对称轴为x=1，
∴点C关于对称轴对称的点C'的坐标为（2，3）．
∴当xp＞5时，锐角∠PCO＜∠ACO；
当xp=5时，锐角∠PCO=∠ACO；
当2＜xp＜5时，锐角∠PCO＞∠ACO．
点评：本题是二次函数综合体，考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定、函数图象交点等知识点．综合性强．
=1，将已知的两点坐标代入抛物线中，联立三式即可求出抛物线的解析式．（2）本题要分两种情况讨论：△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，解题思路都是通过相似三角形得出的关于BD、BC、BO、BA的比例关系式求出BD的长，然后根据∠OBC=45°的特殊条件用BD的长求出D点的坐标．
（3）本题求解的关键是找出几个特殊位置．
①由于∠PCO是锐角，因此要先找出∠PCO是直角时的值，以此来确定P的大致取值范围．去C关于抛物线对称轴的对称点C′（2，3），那么当P、C′重合时，∠PCO=90°，因此∠PCO若为锐角，则P点的横坐标必大于2．
②当∠PCO=∠ACO时，根据A点的坐标和抛物线对称轴的解析式可知：∠ACO=∠ECO，因此直线CE与抛物线的交点（除C外）就是此时P点的位置．据此可求出此时P点的横坐标．
根据上面两种情况进行判定即可．
解答：
解：（1）∵二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12），∴由
解得
．∴此二次函数的表达式为y=-x2+2x+3．
（2）假设存在直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似．
在y=-x2+2x+3中，令y=0，则由-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3．
∴A（-1，0），B（3，0）．
令x=0，得y=3．
∴C（0，3）．
设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E．
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（-1，0）．
∴|AB|=4，|OB|=|OC|=3，∠OBC=45°．
∴|BC|=
=3．要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，
已有∠B=∠B，则只需
，①或②成立．若是①，则有|BD|=
==．而∠OBC=45°，
∴|BE|=|DE|．
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
得|BE|2+|DE|2=2|BE|2=|BD|2=（
）2．解得|BE|=|DE|=
（负值舍去）．∴|OE|=|OB|-|BE|=3-
=．∴点D的坐标为（
，）．将点D的坐标代入y=kx（k≠0）中，求得k=3．
∴满足条件的直线l的函数表达式为y=3x．
或求出直线AC的函数表达式为y=3x+3，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为y=3x．
此时易知△BOD∽△BAC，再求出直线BC的函数表达式为y=-x+3．联立y=3x，y=-x+3求得点D的坐标为（
，）．若是②，则有|BD|=
==2．而∠OBC=45°，
∴|BE|=|DE|．
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
得|BE|2+|DE|2=2|BE|2=|BD|2=（2
）2．解得|BE|=|DE|=2（负值舍去）．
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-2=1．
∴点D的坐标为（1，2）．
将点D的坐标代入y=kx（k≠0）中，求得k=2．
∴满足条件的直线l的函数表达式为y=2x．
∴存在直线l：y=3x或y=2x与线段BC交于点D（不与点B，C重合），
使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似，且点D的坐标分别为（
，）或（1，2）．（3）设过点C（0，3），E（1，0）的直线y=kx+3（k≠0）与该二次函数的图象交于点P．
将点E（1，0）的坐标代入y=kx+3中，
求得k=-3．
∴此直线的函数表达式为y=-3x+3．
设点P的坐标为（x，-3x+3），
并代入y=-x2+2x+3，得x2-5x=0．
解得x1=5，x2=0（不合题意，舍去）．
∴x=5，y=-12．
∴点P的坐标为（5，-12）．
此时，锐角∠PCO=∠ACO．
又∵二次函数的对称轴为x=1，
∴点C关于对称轴对称的点C'的坐标为（2，3）．
∴当xp＞5时，锐角∠PCO＜∠ACO；
当xp=5时，锐角∠PCO=∠ACO；
当2＜xp＜5时，锐角∠PCO＞∠ACO．
点评：本题是二次函数综合体，考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定、函数图象交点等知识点．综合性强．
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