题目内容
【题目】如图，已知△ABC中，∠B=90 ，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求线段PQ的长？
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间？
【答案】(1) 
； （2）t=83；（3）当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.
【解析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）设出发t秒后，△PQB能形成等腰三角形，则BP=BQ，由BQ=2t，BP=8-t，列式求得t即可；
（3）当点Q在CA上运动上，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ=BQ时（图1）则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；
②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；
③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求得BE、CE，即可得出t.
解：(1)BQ=2×2=4cm，BP=ABAP=82×1=6cm，
∵∠B=90°，
PQ=
；
(2)BQ=2t，
BP=8t，
2t=8t，
解得：t=83；
(3)①当CQ=BQ时(图1)，
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5，
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒.
②当CQ=BC时(如图2)，
则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒
③当BC=BQ时(如图3)，过B点作BE⊥AC于点E，
则BE=
，
所以CE=BC2BE2，
故CQ=2CE=7.2，
所以BC+CQ=13.2，
∴t=13.2÷2=6.6秒.
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形.
“点睛”本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用.
