题目内容
27、如图①，小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出：“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD，那么EF⊥AE”．他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图②、图③、图④），其它条件不变，发现仍然有“EF⊥AE”结论．
你同意小明的观点吗？同意，请结合图④加以证明；若不同意，请说明理由．
你同意小明的观点吗？同意，请结合图④加以证明；若不同意，请说明理由．
分析：延长AE交BC的延长线与点M，要证明EF⊥AE，只要证明△AFM是等腰三角形，再证明E是AM的中点就可以证得．
解答：
证明：延长AE交BC的延长线与点M，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠M，
又∵DE=EC，∠AED=∠MEC，
∴△AED≌△MEC，则AE=EM，
∠EAD=∠FAE=∠M，
∴AF=FM，
∴FE⊥AE．
证明：延长AE交BC的延长线与点M，∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠M，
又∵DE=EC，∠AED=∠MEC，
∴△AED≌△MEC，则AE=EM，
∠EAD=∠FAE=∠M，
∴AF=FM，
∴FE⊥AE．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质：三线合一定理，把证明垂直的问题转化为证明等腰三角形底边上的中线的问题．
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