Question

（2013•荆州）已知：关于x的方程kx²-（3k-1）x+2（k-1）=0
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个实数根x₁，x₂，且|x₁-x₂|=2，求k的值．

Answer 1

分析：（1）确定判别式的范围即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系表示出x₁+x₂，x₁x₂，继而根据题意可得出方程，解出即可．

解答：（1）证明：①当k=0时，方程是一元一次方程，有实数根；
②当k≠0时，方程是一元二次方程，
∵△=（3k-1）²-4k×2（k-1）=（k+1）²≥0，
∴无论k为何实数，方程总有实数根．

（2）解：∵此方程有两个实数根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=

(3k-1)

k

，x₁x₂=

2(k-1)

k

，
∵|x₁-x₂|=2，
∴（x₁-x₂）²=4，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，即

9k2-6k+1

k2

-4×

2(k-1)

k

=4，
解得：

k+1

k

=±2，
即k=1或k=-

1

3

．

点评：本题考查了根的判别式及根与系数的关系，属于基础题，这些用到的知识点是需要我们熟练记忆的内容．