Question

九年级数学兴趣小组组织了以“等积变形”为主题的课题研究．
第一学习小组发现：如图（1），点A、点B在直线l₁上，点C、点D在直线l₂上，若l₁∥l₂，则S_△ABC=S_△ABD；反之亦成立．
第二学习小组发现：如图（2），点P是反比例函数y=

k

x

上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，则矩形OMPN的面积为定值|k|．

请利用上述结论解决下列问题：
（1）如图（3），四边形ABCD、与四边形CEFG都是正方形点E在CD上，正方形ABCD边长为2，则S_△BDF=

 

．
（2）如图（4），点P、Q在反比例函数y=

k

x

图象上，PQ过点O，过P作y轴的平行线交x轴于点H，过Q作x轴的平行线交PH于点G，若S_△PQG=8，则S_△POH=

 

，k=

 

．
（3）如图（5）点P、Q是第一象限的点，且在反比例函数y=

k

x

图象上，过点P作x轴垂线，过点Q作y轴垂线，垂足分别是M、N，试判断直线PQ与直线MN的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接CF，根据正方形的性质可知，CF∥BD，△CBD与△FBD同底等高，故S_△BDF=S_△BDC，可求解；
（2）设P（x，y），则k=xy，根据P点所在象限及P、Q关于原点中心对称，得GQ=-2x，PG=2y，由已知，得S_△PQG=

1

2

×GQ×PG=8，可求S_△POH及k的值；
（3）作PA⊥y轴，QB⊥x轴，垂足为A，B，连接PN，MQ，根据双曲线的性质可知，S_矩形AOMP=S_矩形BONQ=k，可得S_矩形ANCP=S_矩形BMCQ，则有S_△NCP=S_△MCQ，S_△NPQ=S_△MPQ，可证PQ∥MN．

解答：解：（1）连接CF，
∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，
∴CF∥BD，△CBD与△FBD同底等高，
∴S_△BDF=S_△BDC=

1

2

S_{正方形ABCD}=2；

（2）设P（x，y），则k=xy，
根据题意，得GQ=-2x，PG=2y，
∴S_△PQG=

1

2

×GQ×PG=8，即

1

2

•（-2x）•2y=8，
解得xy=-4，即k=-4，
S_△POH=

1

2

×OH×PH=-

1

2

xy=2；

（3）PQ∥MN．
理由：作PA⊥y轴，QB⊥x轴，垂足为A，B，连接PN，MQ，
根据双曲线的性质可知，S_矩形AOMP=S_矩形BONQ=k，
∴S_矩形ANCP=S_矩形BMCQ，可知S_△NCP=S_△MCQ，
∴S_△NPQ=S_△MPQ，
∴PQ∥MN．
故本题答案为：（1）2，（2）2，-4．

点评：本题通过反比例函数的知识，考查学生的猜想探究能力．解题时先直观地猜想，再按照从特殊到一般的方法去验证．