Question

如图，PA与⊙O相切于点A，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于点D，已知OA=2，OP=4．
（1）求∠POA的度数；
（2）求弦AB的长；
（3）过P、B两点的直线是否是⊙O的切线，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据PA与⊙O相切于A点可知，OA⊥AP，再依据锐角三角函数的定义即可求出；
（2）根据直角三角形中∠AOC=60°，OA=2可求出AC的长，再根据垂径定理即可求出弦AB的长；
（3）通过全等三角形△OAB≌△OBP（SAS）的对应角相等证得∠OAP=∠OBP=90°．所以过P、B两点的直线是⊙O的切线．

解答：解：（1）∵PA与⊙O相切于A点，
∴△OAP是直角三角形，
∵OA=2，OP=4，
∴cos∠POA=

OA

OP

=

1

2

，
∴∠POA=60°．

（2）∵直角三角形中∠AOC=60°，OA=2，
∴AC=OA•sin60°=2×

3

2

=

3

．
∵AB⊥OP，
∴AB=2AC=2

3

；

（3）过P、B两点的直线是⊙O的切线．理由如下：
如图，连接OB、PB．
在△OAB和△OBP中，

OA=OB ∠AOP=∠BOP OP=OP

，
∴△OAB≌△OBP（SAS），
∴∠OAP=∠OBP．
又∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°．
又∵点B在⊙O上，
∴PB是⊙O的切线，即过P、B两点的直线是⊙O的切线．

点评：本题考查了圆的切线性质，及三角函数的定义及特殊角的三角函数值．此题通过作辅助线OB、PB证得PB是⊙O的切线．