题目内容
【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（﹣8，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．
【答案】（1）y＝
x2+3x﹣8；（2）点F的坐标是F（﹣4，﹣12）；（3）点Q有坐标为（0，4
）或（0，﹣4）或（0，﹣4）或（0，0）．
【解析】
（1）将A，B，C的坐标代入函数y＝ax2+bx+c即可；
（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N，求出直线BC的解析式，设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），再用含m的代数式表示出△BCF的面积，用函数的思想即可推出结论；
（3）此问要分BQ＝BF，QB＝QF，FB＝FQ三种情况进行讨论，分别用勾股定理可求出m的值，进一步写出点Q的坐标．
（1）将A（2，0），B（﹣8，0）C（0，﹣8）代入函数y＝ax2+bx+c，
得， 
解得，
，
∴抛物线解析式为y＝x2+3x﹣8；
（2）如图1中，
作FN∥y轴交BC于N，
将B（﹣8，0）代入y＝kx﹣8，
得，k＝﹣1，
∴yBC＝﹣x﹣8，
设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），
∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC
＝FN×8
＝4FN
＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]
＝﹣2m2﹣16m
＝﹣2（m+4）2+32，
∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，
此时F（﹣4，﹣12），
∴点F的坐标是F（﹣4，﹣12）；
（3）存在点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形，理由如下：
①如图2﹣1，
当BQ＝BF时，
由题意可列，82+m2＝（8﹣4）2+122，
解得，m1＝
，m2＝
∴Q1（0，），Q2（0，）；
②如图2﹣2，
当QB＝QF时，
由题意可列，82+m2＝（m+12）2+42，
解题，m＝﹣4，
∴Q3（0，﹣4）；
③如图2﹣3，
当FB＝FQ时，
由题意可列，（8﹣4）2+122＝（m+12）2+42，
解得，m1＝0，m2＝﹣24，
∴Q4（0，0），Q5（0，﹣24）；
设直线BF的解析式为y＝kx+b，
将B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12）代入，
得
，
解得，k＝﹣3，b＝﹣24，
∴yBF＝﹣3x﹣24，
当x＝0时，y＝﹣24，
∴点B，F，Q重合，故Q5舍去，
∴点Q有坐标为（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）或（0，0）．
