Question

如图所示，两个同样大小的等边△ABC和△ACD，边长为12，它们拼成一个菱形ABCD，另一个足够大等边△AEF绕点A旋转，AE与BC相交于点M，AF与CD相交于点N．
（1）判断AM与AN是否相等，并简要说明理由；
（2）求四边形AMCN的面积；
（3）探索△AMN何时面积最小，并求出这个最小面积．

Answer 1

证明：（1）AM=AN．
∵△ABC、△ACD、△AEF都是等边三角形，
∴∠BAE+∠EAC=∠CAN+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAN．
又∵AB=AC，∠B=∠ACN，
∴△ACN≌△ABM，
∴AM=AN
（2）解：由（1）得，△ACN≌△ABM，
∴S_△ABM+S_△AMC=S_△ACN+S_△AMC=S_{四边形AMCN}，
又∵S_△ABM+S_△AMC=S_△ABC=×12×12×sin60°=36，
∴S_△ABC=S_{四边形AMCN}=36，
∴四边形AMCN的面积是36．
（3）解：∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF=60°，
∴S_△AMN=AN﹒AMsin60°，
∴只要AN、AM取最小值，S_△AMN就最小，
∵两点间的垂直距离最短，
∴当AN⊥CD、AM⊥BC时，△AMN面积最小．
在△ABM中，AE=12×sin60°=6，
在△ANC中，AN=12×sin60°=6，
∴S_△AMN=27，
∴当AN⊥CD、AM⊥BC时，△AMN面积最小，△AMN的最小面积是27．