题目内容

【题目】如图,在中,的中点

①用直尺和圆规在边上求作点,使得(保留作图痕迹,不要求写作法)

②在①的条件下,如果,那么的中点吗?为什么?

【答案】①作图见详解,②QGN的中点,证明见详解.

【解析】

①利用尺规进行作图即可,注意要保留作图痕迹.

②证明的中点,根据①的条件大胆猜想综合运用等角和等边转换,从而分析证明.

解:①

② 在①的条件下,如果∠G=60°,那么QGN的中点,理由如下:

PP'GN于点K

∵∠G=60°,∠GMN=90°,

∴∠N=90°─60°=30°,

∵点P关于GN的对称点是点P'

PKKNPK=P P'

∴∠PKN=90°,又∵∠N=30°,

PK=PNPP'=PN

PMN的中点,

PM=PNPP'=PM

∴∠PР'M=PMР'

∵∠PK N=90°,∠N=30°,

∴∠NРK=90°-30°=60°,

又∵∠PP'M+PMP=NPK

∴∠PM P'=×60°=30°,又∵∠N=30°,

∴∠PM P'=NQM=QN

∵∠GMN=90°,∠PM P'=30°,

∴∠GMQ=90°-30°=60°,

又∵∠G=60°,

∴∠GMQ=G

QG=QM,又∵QM=QN

QG=QNQGN的中点。

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