题目内容
【题目】如图,在中,为的中点
①用直尺和圆规在边上求作点,使得(保留作图痕迹,不要求写作法);
②在①的条件下,如果,那么是的中点吗?为什么?
【答案】①作图见详解,②Q是GN的中点,证明见详解.
【解析】
①利用尺规进行作图即可,注意要保留作图痕迹.
②证明是的中点,根据①的条件大胆猜想综合运用等角和等边转换,从而分析证明.
解:①
② 在①的条件下,如果∠G=60°,那么Q是GN的中点,理由如下:
设PP'交GN于点K,
∵∠G=60°,∠GMN=90°,
∴∠N=90°─60°=30°,
∵点P关于GN的对称点是点P',
∴PK⊥KN,PK=P P',
∴∠PKN=90°,又∵∠N=30°,
∴PK=PN,PP'=PN,
∵P为MN的中点,
∴PM=PN,PP'=PM,
∴∠PР'M=∠PMР',
∵∠PK N=90°,∠N=30°,
∴∠NРK=90°-30°=60°,
又∵∠PP'M+∠PMP’=∠NPK,
∴∠PM P'=×60°=30°,又∵∠N=30°,
∴∠PM P'=∠N,QM=QN,
∵∠GMN=90°,∠PM P'=30°,
∴∠GMQ=90°-30°=60°,
又∵∠G=60°,
∴∠GMQ=∠G,
∴QG=QM,又∵QM=QN,
∴QG=QN,Q是GN的中点。
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