Question

如图，一元二次方程x²+2x-3=0的二根x₁，x₂（x₁＜x₂）是抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；
（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．

Answer 1

分析：（1）先求出一元二次方程的两个根，即可知与x轴的两个交点B，C的坐标，设出两点式，用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）根据B，C两点的坐标可求出二次函数的顶点坐标及对称轴方程，根据A，C两点的坐标可求出线段AC所在直线的表达式，求出两方程的交点即为Q点的坐标；
（3）根据两点之间线段最短，故当此三点在同一条直线上时MQ+MA取得最小值，作A关于x轴的对称点A′，连接A′Q；A′Q与x轴交于点M即为所求的点．

解答：解：（1）解方程x²+2x-3=0
得x₁=-3，x₂=1（11分）
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：C（-3，0），B（1，0）（2分）
设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1）（a≠0）．（3分）
∵A（3，6）在抛物线上
∴6=a（3+3）（3-1），
∴a=

1

2

．（4分）
∴抛物线解析式为：y=

1

2

x²+x-

3

2

（5分）．

（2）由y=

1

2

x²+x-

3

2

=

1

2

（x+1）²-2（6分）
∴抛物线顶点P的坐标为：（-1，-2），对称轴方程为：x=-1．（7分）
设直线AC的方程为：y=k₁x+b₁．
∵A（3，6），C（-3，0），
∴在该直线上

3k1+b1=6 -3k1+b1=0

，
解得

b1=3 k1=1

直线AC的方程为：y=x+3（9分）
将x=-1代入y=x+3得y=2，
∴Q点坐标为（-1，2）．（10分）

（3）作A关于x轴的对称点A′（3，-6），
连接A'Q；A'Q与x轴交于点M即为所求的点（11分）
设直线A'Q方程为y=kx+b
∴

3k+b=-6 -k+b=2

解得

b=0 k=-2

．
∴直线A'Q：y=-2x（12分）
令x=0，则y=0（13分）．
∴M点坐标为（0，0）．（14分）

点评：本题综合考查了一元二次方程与二次函数的关系，及用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，比较复杂．