Question

如图，一元二次方程x²+2x-3=0的两根x₁，x₂（x₁＜x₂）是抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点C，B的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点G，则P点坐标为

 

，G点坐标为

 

；
（3）在x轴上有一动点M，当MG+MA取得最小值时，求点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）可先根据一元二次方程求出x₁，x₂的坐标，也就求出了B，C两点的坐标，然后可用交点式的二次函数通式来设二次函数的解析式，根据已知的A点的坐标求出二次函数的解析式．
（2）根据（1）二次函数解析式可得出顶点P的坐标和对称轴的解析式，G点就是直线AC与抛物线对称轴的交点，可先根据A，C的坐标，用待定系数法求出AC所在直线的解析式，然后将P点的横坐标代入求得的一次函数的解析式中即可求出G的坐标．
（3）本题的关键是先确定M点的位置，可先做A关于x轴的对称点A′然后连接A′C，与x轴的交点就是点M，那么可根据A′，C两点的坐标求出A′C所在直线的解析式，又已知了M在x轴上即可求出M点的坐标．

解答：解：（1）解方程x²+2x-3=0
得x₁=-3，x₂=1．
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：C（-3，0），B（1，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1）．
∵A（3，6）在抛物线上，
∴6=a（3+3）•（3-1），
∴a=

1

2

，
∴抛物线解析式为y=

1

2

x²+x-

3

2

．

（2）由y=

1

2

x²+x-

3

2

=

1

2

（x+1）²-2，
∴抛物线顶点P的坐标为（-1，-2），对称轴方程为x=-1．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（3，6），C（-3，0）在该直线上，
∴

3k+b=6 -3k+b=0

解得

b=3 k=1

，
∴直线AC的解析式为：y=x+3．
将x=-1代入y=x+3
得y=2，
∴G点坐标为（-1，2）．

（3）作A关于x轴的对称点A′（3，-6），
连接A′G，A′G与x轴交于点M即为所求的点．
设直线A′G的解析式为y=kx+b．
∴

3k+b=-6 -k+b=2

解得

b=0 k=-2

，
∴直线A′G的解析式为y=-2x，令x=0，则y=0．
∴M点坐标为（0，0）．

点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数与二次函数解析式的方法．
（3）中先确定M点的位置是解题的关键．