题目内容
【题目】如图,抛物线y=x2-4x与x轴交于O,A两点,P为抛物线上一点,过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q.
(1)这条抛物线的对称轴是 ,直线PQ与x轴所夹锐角的度数是 ;
(2)若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ,求m的值;
(3)当点P在x轴下方的抛物线上时,过点C(2,2)的直线AC与直线PQ交于点D,求:①PD+DQ的最大值;②PDDQ的最大值.
【答案】(1)x=2,45;(2)m=-1或2;(3)①6;②18.
【解析】试题分析:(1)把解析式转化成顶点式,或利用对称轴公式即可得该抛物线的对称轴,利用直线y=x+m与坐标轴的交点坐标即可求得直线PQ与x轴所夹锐角的度数;(2)分情况讨论,即直线PQ与x轴的交点落在OA的延长线上,OA上,AO的延长线上三种情况讨论m值.设直线PQ交x轴于点B,分别过O点,A点作PQ的垂线,垂足分别是E、F,,当点B在OA的延长线时,S△POQ=S△PAQ不成立;当点B落在线段OA上时, ,由△OBE∽△ABF得, ,由对称轴求出A点坐标,再由比例式求出B点坐标,代入直线PQ解析式,即可求得m值;当点B落在线段AO的延长线上时,同理由比例式求出B点坐标,进而确定m值;(3)①由题意可过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H,可得△CHQ是等腰三角形,AD⊥PH,DQ=DH,PD+DQ=PH,过P点作PM⊥CH于点M,可得△PMH是等腰直角三角形,PH=PM,即当PM最大时,PH最大,显然当点P在抛物线顶点处时,PM最大,此时PM=6,于是求得PH的最大值.即PD+DQ的最大值;②上题求得PD+DQ的最大值为6.即PD+DQ ≤6,设PD=a,则DQ ≤6-a,所以PDDQ≤a(6-a)=-(a-3)2+18,即当PD=DQ=3时求得PDDQ的最大值
试题解析:(1)∵y=x2-4x=(x-2)2-4,∴抛物线的对称轴是直线x=2,∵直线y=x+m与坐标轴的交点坐标为(-m,0),(0,m),∴交点到原点的距离相等,∴直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°.故答案为x=2;45°.(2)设直线PQ交x轴于点B,分别过O点,A点作PQ的垂线,垂足分别是E、F,显然当点B在OA的延长线时,OE>AF,S△POQ=S△PAQ不成立;①当点B落在线段OA上时,如图①,
,由△OBE∽△ABF得, ,∴AB=3OB,∴OB =OA,由y=x2-4x得点A(4,0),∴OB=1,∴B(1,0),代入y=x+m,∴1+m=0,∴m=-1;②当点B落在线段AO的延长线上时,如图②,
同理可得OB =OA=2,∴B(-2,0),∴-2+m=0,∴m=2,;综上所述,当m=-1或2时,S△POQ=S△PAQ;
(3)①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H,如图③,
可得△CHQ是等腰三角形,∵=45°+45°=90°,∴AD⊥PH,∴DQ=DH,∴PD+DQ=PH,过P点作PM⊥CH于点M,则△PMH是等腰直角三角形,∴PH=PM,∴当PM最大时,PH最大,∴当点P在抛物线顶点处时,PM最大,此时PM=6,∴PH的最大值为6,即PD+DQ的最大值为6.②由①可知:PD+DQ ≤6,设PD=a,则DQ ≤6-a,∴PDDQ ≤a(6-a)=-a2+6a=-(a-3)2+18,∵当点P在抛物线的顶点时,a=3,∴PDDQ ≤18.;∴PDDQ的最大值为18.