题目内容

【题目】如图,抛物线y=x24xx轴交于OA两点,P为抛物线上一点,过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q

1)这条抛物线的对称轴是 ,直线PQx轴所夹锐角的度数是

2)若两个三角形面积满足SPOQ=SPAQ,求m的值;

3)当点Px轴下方的抛物线上时,过点C22)的直线AC与直线PQ交于点D,求:PDDQ的最大值;PDDQ的最大值.

【答案】(1x=2,45;(2m=-12;(3618

【解析】试题分析:(1)把解析式转化成顶点式,或利用对称轴公式即可得该抛物线的对称轴,利用直线y=x+m与坐标轴的交点坐标即可求得直线PQx轴所夹锐角的度数;(2)分情况讨论,即直线PQx轴的交点落在OA的延长线上,OA上,AO的延长线上三种情况讨论m.设直线PQx轴于点B,分别过O点,A点作PQ的垂线,垂足分别是EF,,当点BOA的延长线时,SPOQ=SPAQ不成立;当点B落在线段OA上时, ,由OBE∽△ABF得, ,由对称轴求出A点坐标,再由比例式求出B点坐标,代入直线PQ解析式,即可求得m值;当点B落在线段AO的延长线上时,同理由比例式求出B点坐标,进而确定m值;(3)由题意可过点CCHx轴交直线PQ于点H,可得CHQ是等腰三角形,ADPHDQ=DHPDDQ=PH,过P点作PMCH于点M,可得PMH是等腰直角三角形,PH=PM,即当PM最大时,PH最大,显然当点P在抛物线顶点处时,PM最大,此时PM=6,于是求得PH的最大值.PDDQ的最大值;上题求得PD+DQ的最大值为6.即PD+DQ ≤6,设PD=a,则DQ ≤6a,所以PDDQ≤a6a=-(a3218,即当PD=DQ=3时求得PDDQ的最大值

试题解析:(1y=x24x=(x2)24抛物线的对称轴是直线x=2直线y=x+m与坐标轴的交点坐标为(m0)(0m)交点到原点的距离相等,直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,直线PQx轴所夹锐角的度数是45°.故答案为x=245°.(2)设直线PQx轴于点B,分别过O点,A点作PQ的垂线,垂足分别是EF,显然当点BOA的延长线时,OE>AF,SPOQ=SPAQ不成立;当点B落在线段OA上时,如图

,由OBE∽△ABF得, AB=3OBOB =OA,由y=x24x得点A40),OB=1B10),代入y=x+m,1m=0m=1当点B落在线段AO的延长线上时,如图

同理可得OB =OA=2B(-20),2m=0m=2,;综上所述,当m=12时,SPOQ=SPAQ

3过点CCH∥x轴交直线PQ于点H,如图

可得CHQ是等腰三角形,=45°+45°=90°ADPHDQ=DHPDDQ=PH,过P点作PMCH于点M,则PMH是等腰直角三角形,PH=PMPM最大时,PH最大,当点P在抛物线顶点处时,PM最大,此时PM=6PH的最大值为6,即PD+DQ的最大值为6可知:PD+DQ ≤6,设PD=a,则DQ ≤6aPDDQ ≤a6a=a26a=-(a3218当点P在抛物线的顶点时,a=3PDDQ ≤18.;PDDQ的最大值为18

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