Question

如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧上一动点（不与A．C重合）．
（1）求∠APC与∠ACD的度数；
（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．
（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．

Answer 1

解：（1）连接AC，如图所示：

∵AB=4，∴OA=OB=OC=AB=2。
又∵AC=2，∴AC=OA=OC。∴△ACO为等边三角形。
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，
∴∠APC=∠AOC=30°。
又DC与圆O相切于点C，∴OC⊥DC。∴∠DCO=90°。
∴∠ACD=∠DCO﹣∠ACO=90°﹣60°=30°。
（2）连接PB，OP，
∵AB为直径，∠AOC=60°，∴∠COB=120°。
当点P移动到弧CB的中点时，∠COP=∠POB=60°。
∴△COP和△BOP都为等边三角形。∴AC=CP=OA=OP。
∴四边形AOPC为菱形。
（3）当点P与B重合时，△ABC与△APC重合，显然△ABC≌△APC。
当点P继续运动到CP经过圆心时，△ABC≌△CPA，理由为：
∵CP与AB都为圆O的直径，∴∠CAP=∠ACB=90°。
在Rt△ABC与Rt△CPA中，AB=CP，AC=AC
∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL）。
综上所述，当点P与B重合时和点P运动到CP经过圆心时，△ABC≌△CPA。

切线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，菱形的判定。
【分析】（1）连接AC，由直径AB=4，得到半径OA=OC=2，又AC=2，得到AC=OC=OA，即△AOC为等边三角形，可得出三个内角都为60°，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，得到∠APC为30°，由CD为圆O的切线，得到OC垂直于CD，可得出∠OCD为直角，用∠OCD-∠OCA可得出∠ACD的度数。
（2）由∠AOC为60°，AB为圆O的直径，得到∠BOC=120°，再由P为CB 的中点，得到两条弧相等，根据等弧对等角，可得出∠COP=∠BOP=60°，从而得到△COP与△BOP都为等边三角形，可得出OC=OB=PC=PB，即四边形OBPC为菱形。
（3）点P有两个位置使△APC与△ABC全等，其一：P与B重合时，显然两三角形全等；第二：当CP为圆O的直径时，此时两三角形全等。