题目内容
小许在动手操作时，发现直角边长分别为6，8和直角边长分别为2，14的两个直角三角形中（如图①），∠1和∠2可以拼成一个45°的角（如图②），但他不会说理，于是找来几个同学一起研究这个问题．（1）甲同学发现，只要在图③中连接CC1，过C作CD⊥B1C1，交C1B1的延长线于点D并能计算出CC1的长度，就可以说明△ACC1是等腰直角三角形，从而说明∠1+∠2=45°，请写出甲同学的说理过程；
（2）乙同学发现，只要两个直角三角形的直角边长分别为a，b和直角边长分别为a+b，a-b（a＞b），利用两个直角三角形构造出的矩形（如图④），同样可以说明∠1+∠2=45°，请写出乙同学的说理过程．
【答案】分析：（1）由题干条件知CD=6，DC1=8，在直角三角形中利用勾股定理求出AC1和CC1的长度，进而求得AC2+CC12=200=AC12，利用勾股定理的逆定理求出∠ACC1=90°，再知AC=CC1，即可证明出∠1+∠2=45°，
（2）连接CC1由已知易得：CD=a，DC1=b，在直角三角形中利用勾股定理求出AC1和CC1的长度，进而求得AC2+CC12=AC12，利用勾股定理的逆定理求出∠ACC1=90°，再知AC=CC1，即可证明出∠1+∠2=45°．
解答：解：（1）由已知易得：CD=6，DC1=8
由勾股定理，在Rt△ABC中，AC=10，（1分）
在Rt△CDC1中，CC1=10，（2分）
在Rt△ABC中，AC1=10
（3分）
在△ACC1中，AC2+CC12=200=AC12
∴∠ACC1=90°（4分）
又∵AC=CC1=10，
∴∠CAC1=∠1+∠2=45°（5分）
（2）连接CC1
由已知易得：CD=a，DC1=b
由勾股定理，在Rt△ABC中，AC=
，（6分）
在Rt△CDC1中，CC1=
，（7分）
在Rt△ABC中，AC1=
（8分）
在△ACC1中，AC2+CC12=AC12
∴∠ACC1=90°（9分）
又∵AC=CC1，
∴∠CAC1=45°
∴∠1+∠2=45°．（10分）
点评：本题主要考查等腰直角三角形的知识点，解答本题的关键是熟练利用勾股定理和逆定理，本题难度不是很大，但是做题的时候需要细心．
（2）连接CC1由已知易得：CD=a，DC1=b，在直角三角形中利用勾股定理求出AC1和CC1的长度，进而求得AC2+CC12=AC12，利用勾股定理的逆定理求出∠ACC1=90°，再知AC=CC1，即可证明出∠1+∠2=45°．
解答：解：（1）由已知易得：CD=6，DC1=8
由勾股定理，在Rt△ABC中，AC=10，（1分）
在Rt△CDC1中，CC1=10，（2分）
在Rt△ABC中，AC1=10
（3分）在△ACC1中，AC2+CC12=200=AC12
∴∠ACC1=90°（4分）
又∵AC=CC1=10，
∴∠CAC1=∠1+∠2=45°（5分）
（2）连接CC1由已知易得：CD=a，DC1=b
由勾股定理，在Rt△ABC中，AC=
，（6分）在Rt△CDC1中，CC1=
，（7分）在Rt△ABC中，AC1=
（8分）在△ACC1中，AC2+CC12=AC12
∴∠ACC1=90°（9分）
又∵AC=CC1，
∴∠CAC1=45°
∴∠1+∠2=45°．（10分）
点评：本题主要考查等腰直角三角形的知识点，解答本题的关键是熟练利用勾股定理和逆定理，本题难度不是很大，但是做题的时候需要细心．
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