Question

小许在动手操作时，发现直角边长分别为6，8和直角边长分别为2，14的两个直角三角形中（如图①），∠1和∠2可以拼成一个45°的角（如图②），但他不会说理，于是找来几个同学一起研究这个问题．
（1）甲同学发现，只要在图③中连接CC₁，过C作CD⊥B₁C₁，交C₁B₁的延长线于点D并能计算出CC₁的长度，就可以说明△ACC₁是等腰直角三角形，从而说明∠1+∠2=45°，请写出甲同学的说理过程；
（2）乙同学发现，只要两个直角三角形的直角边长分别为a，b和直角边长分别为a+b，a-b（a＞b），利用两个直角三角形构造出的矩形（如图④），同样可以说明∠1+∠2=45°，请写出乙同学的说理过程．

Answer 1

分析：（1）由题干条件知CD=6，DC₁=8，在直角三角形中利用勾股定理求出AC₁和CC₁的长度，进而求得AC²+CC₁²=200=AC₁²，利用勾股定理的逆定理求出∠ACC₁=90°，再知AC=CC₁，即可证明出∠1+∠2=45°，
（2）连接CC₁由已知易得：CD=a，DC₁=b，在直角三角形中利用勾股定理求出AC₁和CC₁的长度，进而求得AC²+CC₁²=AC₁²，利用勾股定理的逆定理求出∠ACC₁=90°，再知AC=CC₁，即可证明出∠1+∠2=45°．

解答：解：（1）由已知易得：CD=6，DC₁=8
由勾股定理，在Rt△ABC中，AC=10，（1分）
在Rt△CDC1中，CC₁=10，（2分）
在Rt△ABC中，AC₁=10

2

（3分）
在△ACC₁中，AC²+CC₁²=200=AC₁²
∴∠ACC₁=90°（4分）
又∵AC=CC₁=10，
∴∠CAC₁=∠1+∠2=45°（5分）

（2）连接CC₁
由已知易得：CD=a，DC₁=b
由勾股定理，在Rt△ABC中，AC=

a2+b2

，（6分）
在Rt△CDC₁中，CC₁=

a2+b2

，（7分）
在Rt△ABC中，AC₁=

2(a2+b2)

（8分）
在△ACC₁中，AC²+CC₁²=AC₁²
∴∠ACC₁=90°（9分）
又∵AC=CC₁，
∴∠CAC₁=45°
∴∠1+∠2=45°．（10分）

点评：本题主要考查等腰直角三角形的知识点，解答本题的关键是熟练利用勾股定理和逆定理，本题难度不是很大，但是做题的时候需要细心．