题目内容
【题目】如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD于F，交BC的延长线于G，M是FG的中点.
（1）求证：① ∠1=∠2；② EC⊥MC.
（2）试问当∠1等于多少度时，△ECG为等腰三角形？请说明理由.
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）当∠1=30°时，△ECG为等腰三角形. 理由见解析.
【解析】试题分析：（1）①根据正方形的对角线平分一组对角可得
然后利用边角边定理证明
≌
再根据全等三角形对应角相等即可证明；
②根据两直线平行，内错角相等可得
再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得
然后据等边对等角的性质得到
，所以
然后根据
即可证明
从而得证；
（2）根据（1）的结论，结合等腰三角形两底角相等
然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可求解．
试题解析：(1)证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=∠CDE，AD=CD，
在△ADE与△CDE,
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴∠1=∠2，
②∵AD∥BG(正方形的对边平行)，
∴∠1=∠G，
∵M是FG的中点，
∴MC=MG=MF，
∴∠G=∠MCG，
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠MCG，
∵
∴
∴EC⊥MC；
（2）当∠1=30°时， 
为等腰三角形. 理由如下：
∵
要使
为等腰三角形，必有
∴
span>
∵
∴
∴
∴∠1=30°.
【题型】解答题
【结束】
24
【题目】如图，已知抛物线经过原点O和点A，点B(2,3)是该抛物线对称轴上一点，过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，连结BO、CA，若四边形OACB是平行四边形.
（1）① 直接写出A、C两点的坐标；② 求这条抛物线的函数关系式；
（2）设该抛物线的顶点为M，试在线段AC上找出这样的点P，使得△PBM是以BM为底边的等腰三角形并求出此时点P的坐标；
（3）经过点M的直线把□ OACB的面积分为1:3两部分，求这条直线的函数关系式.
【答案】（1）① A(4,0)，C(6,3) ；②所求的抛物线函数关系式为
；（2）点P的坐标为(
,1).
（3）所求直线为：x=2或y=
x
【解析】试题分析：（1）①根据点B(2,3)是该抛物线对称轴上一点，得出A点坐标为(4,0)，进而得出AO的长，即可得出BC=AO，求出C点坐标即可；
②根据
三点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）首先求出
所在解析式，进而得出符合条件的等腰△PBM顶角的顶点P在线段BM的垂直平分线与线段AC的交点上，求出即可；
（3）由条件可知经过点M且把OACB的面积分为1:3两部分的直线有两条，分别得出即可．
试题解析：(1)①∵点B(2,3)是该抛物线对称轴上一点，
∴A点坐标为(4,0)，
∵四边形OACB是平行四边形，
∴BC=AO，
∴C点坐标为：(6,3)，
②设所求的抛物线为
则依题意，得
,
解得： 
∴所求的抛物线函数关系式为： 
(2)设线段AC所在的直线的函数关系式为
根据题意，得
解得： 
∴直线AC的函数关系式为： 
∵
∴抛物线的顶点坐标M为(2,1)，
∴符合条件的等腰△PBM顶角的顶点P在线段BM的垂直平分线与线段AC的交点上，
而BM=4,所以P点的纵坐标为1,把y=1代入
中,得
∴点P的坐标为
(3)平行四边形的中心对称性可以得到经过点M且把
的面积分为1:3两部分的直线有两条,
(ⅰ)∵OACB=OABD=4×3=12,△OBD的面积
∴直线x=2为所求,
(ⅱ)设符合条件的另一直线分别与x轴、BC交于点
则
∴四边形ACFE的面积
即
∵BC∥x轴，
∴△MDE∽△MBF，
∴
∴
即
∴
∴
设直线ME的函数关系式为
则
解得： 
∴直线ME的函数关系式为
综合(ⅰ)(ⅱ)得,所求直线为：x=2或
