Question

已知：如图1，△OAB是边长为2的等边三角形，OA在x轴上，点B在第一象限内；△OCA是一个等腰三角形，OC＝AC，顶点C在第四象限，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．

（1）求在运动过程中形成的△OPQ面积S与运动时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；
（2）在OA上（点O、A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；
（3）如图2，现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

Answer 1

（1）（），（）
（2）或
（3）4

试题分析：解：（1）过点C作CD⊥OA于点D．
∵OC=AC，∠ACO=120°，∴∠AOC=∠OAC=30°．
∵，， ∴．
在Rt中， 
①当时，,,；
过点作于点．
在Rt中，∵，∴，
∴．
即 ．
②当时，
，．
∵，，∴．
∴．
即．
故当时，，当时，
（2）因为点C（1，-），所以OC=，假设OC=OD，则点D的坐标为
假设OD=DC，则点D的坐标为
（3）的周长不发生变化．
延长至点，使，连结．
∵，∴≌．
∴，
∴．
∴． 又∵．
∴≌．∴
∴．
∴的周长不变，其周长为4
点评：该题较为复杂，是大题中的常考题，主要考查学生分析直角坐标系几何图形与函数之间的联系，图形点的坐标表示记得所在空间的符号。