Question

如图14，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，），

抛物线经过A、O、B三点，连结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、

n（m＜n）分别是方程的两根.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、

B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点

（点D在轴右侧），连结OD、BD.

① 当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；

② 求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D

的坐标.

Answer 1

 解（1）解方程，得 ，.

∵，∴，………………………………………………（1分）

∴A（-1，-1），B（3，-3）.

∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为.

∴  解得，.

∴抛物线的解析式为 .  ………………………………（4分）

（2）①设直线AB的解析式为.

∴  解得，.

 ∴直线AB的解析式为.

∴C点坐标为（0，）.………………（6分）

∵直线OB过点O（0，0），B（3，-3），

∴直线OB的解析式为.

∵△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC.

设，，

（i）当OC=OP时, .

解得，（舍去）. ∴ P（， ）.

（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴  (，.

（iii）当OC=PC时，由，

解得，（舍去）. ∴ P(.

  ∴P点坐标为P（,）或 (,或P(.…（9分）

②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H.

设Q（，），D(，).

 =

==，

∵0＜＜3，

∴当时，S取得最大值为，此时D（，.………………（13分）