题目内容

已知二次函数的图象交x轴于A、B两点，对称轴方程为x=2，若AB=6，且此二次函数的最大值为5，则此二次函数的解析式为________．

y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ．
分析：先设出二次函数的解析式，因知道对称轴x=2及二次函数的最大值为5，可设函数解析式为：y=a（x-2）²+5，再根据二次函数的图象交x轴于A、B两点且AB=6，知方程a（x-2）²+5=0的两根x₁，x₂有|x₁-x₂|=6，代入可以求出a值，从而求出二次函数的解析式．
解答：设函数的解析式为：y=a（x-2）²+5，
设方程a（x-2）²+5=ax²-4ax+4a+5=0的两根为：x₁，x₂
二次函数的图象交x轴于A、B两点，且AB=6，
∴|x₁-x₂|=6，
∵x₁+x₂=4，x₁•x₂= $\text{[math]}$ ，
∴|x₁-x₂|= $\text{[math]}$ =6，
∴16-4× $\text{[math]}$ =36，
解得a=- $\text{[math]}$ ，
∴此二次函数的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查一次函数的基本性质，知道对称轴和函数最大值把二次函数设为顶点式，学会用待定系数法求出二次函数的解析式，还考查学生的计算能力．