Question

已知二次函数的图象交x轴于A、B两点，对称轴方程为x=2，若AB=6，且此二次函数的最大值为5，则此二次函数的解析式为

 

．

Answer 1

分析：先设出二次函数的解析式，因知道对称轴x=2及二次函数的最大值为5，可设函数解析式为：y=a（x-2）²+5，再根据二次函数的图象交x轴于A、B两点且AB=6，知方程a（x-2）²+5=0的两根x₁，x₂有|x₁-x₂|=6，代入可以求出a值，从而求出二次函数的解析式．

解答：解：设函数的解析式为：y=a（x-2）²+5，
设方程a（x-2）²+5=ax²-4ax+4a+5=0的两根为：x₁，x₂
二次函数的图象交x轴于A、B两点，且AB=6，
∴|x₁-x₂|=6，
∵x₁+x₂=4，x₁•x₂=

4a+5

a

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=6，
∴16-4×

4a+5

a

=36，
解得a=-

5

9

，
∴此二次函数的解析式为：y=-

5

9

x²+

20

9

x+

25

9

．

点评：此题考查一次函数的基本性质，知道对称轴和函数最大值把二次函数设为顶点式，学会用待定系数法求出二次函数的解析式，还考查学生的计算能力．