Question

如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图12所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.

① 当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；

② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）因所求抛物线的顶点M的坐标为(2,4)，

故可设其关系式为 

又抛物线经过O(0,0)，于是得， 

解得 a=-1                                     

∴ 所求函数关系式为，即.

（2）① 点P不在直线ME上.                         

根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4,0)，

又M的坐标为(2,4)，设直线ME的关系式为y=kx+b.

于是得  ，解得

所以直线ME的关系式为y=-2x+8.

由已知条件易得，当t时，OA=AP，

∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.        

∴ 当t时，点P不在直线ME上.

② S存在最大值. 理由如下：)

∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ∴ OA=AP=t.

∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t ²+4t)       ∴ AN=-t ²+4t (0≤t≤3) ,

∴ AN-AP=(-t ²+4 t)- t=-t ²+3 t=t(3-t)≥0 ,     ∴ PN=-t ²+3 t 

（）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴ S=DC?AD=×3×2=3.

（）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形

∵ PN∥CD，AD⊥CD，

∴ S=(CD+PN)?AD=[3+(-t ²+3 t)]×2=-t ²+3 t+3=

其中(0＜t＜3)，由a=-1，0＜＜3，此时.

综上所述，当t时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最大值，

这个最大值为.

说明：（）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.