题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,对于与坐标轴不平行的直线l和点P,给出如下定义:过点P作x轴,y轴的垂线,分别交直线l于点M,N,若PM+PN≤4,则称P为直线l的近距点,特别地,直线上l所有的点都是直线l的近距点.已知点A(-,0),B(0,2),C(-2,2).
(1)当直线l的表达式为y=x时,
①在点A,B,C中,直线l的近距点是 ;
②若以OA为边的矩形OAEF上所有的点都是直线l的近距点,求点E的纵坐标n的取值范围;
(2)当直线l的表达式为y=kx时,若点C是直线l的近距点,直接写出k的取值范围.
【答案】(1)①A,B;②n的取值范围是,且
;(2)
.
【解析】(1)①根据PM+PN≤4,进行判断;②当PM+PN=4时,可知点P在直线l1:,直线l2:
上.所以直线l的近距点为在这两条平行线上和在这两条平行线间的所有点.分两种情况EF在OA上方,当点E在直线l1上时,n的值最大;EF在OA下方,当点F在直线l2上时,n的值最小,当
时,EF与AO重合,矩形不存在,所以可以分析出n的取值范围;
(2)根据定义,结合图形可推出:.
解:(1)①A,B;
②当PM+PN=4时,可知点P在直线l1:,直线l2:
上.所以直线l的近距点为在这两条平行线上和在这两条平行线间的所有点.
如图1,EF在OA上方,当点E在直线l1上时,n的值最大,为.
如图2,EF在OA下方,当点F在直线l2上时,n的值最小,为.
当时,EF与AO重合,矩形不存在.
综上所述,n的取值范围是,且
.
(2).
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