题目内容

如图,已知:边长为1的正方形ABCD顶点都在⊙O上,P为边CD的中点,直线AP交圆于E点.求弦DE的长.
分析:设圆心为O,连接OD、OE,过点O作OF⊥DE于F,根据圆周角定理可得∠DAE=
1
2
∠DOE,根据垂径定理可得∠DOF=
1
2
∠DOE,DE=2DF,然后求出△ADP和△OFD相似,根据相似三角形对应边成比例可得
OD
AP
=
DF
DP
,再根据正方形的性质求出OD,利用勾股定理列式求出AP,然后代入比例式进行计算即可求出DF,然后求出DE.
解答:解:如图,设圆心为O,连接OD、OE,过点O作OF⊥DE于F,
由圆周角定理得,∠DAE=
1
2
∠DOE,
由垂径定理可得,∠DOF=
1
2
∠DOE,DE=2DF,
又∵∠ADC=∠OFD=90°,
∴△ADP∽△OFD,
OD
AP
=
DF
DP

∵正方形ABCD的边长为1,
∴OD=
1
2
×
12+12
=
2
2

∵P是CD的中点,
∴DP=
1
2

根据勾股定理,AP=
12+(
1
2
)
2
=
5
2

2
2
5
2
=
DF
1
2

解得DF=
10
10

∴DE=2DF=2×
10
10
=
10
5
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,圆周角定理,垂径定理,正方形的性质,作辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键,也是本题的难点.
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