题目内容

分析:设圆心为O,连接OD、OE,过点O作OF⊥DE于F,根据圆周角定理可得∠DAE=
∠DOE,根据垂径定理可得∠DOF=
∠DOE,DE=2DF,然后求出△ADP和△OFD相似,根据相似三角形对应边成比例可得
=
,再根据正方形的性质求出OD,利用勾股定理列式求出AP,然后代入比例式进行计算即可求出DF,然后求出DE.
1 |
2 |
1 |
2 |
OD |
AP |
DF |
DP |
解答:
解:如图,设圆心为O,连接OD、OE,过点O作OF⊥DE于F,
由圆周角定理得,∠DAE=
∠DOE,
由垂径定理可得,∠DOF=
∠DOE,DE=2DF,
又∵∠ADC=∠OFD=90°,
∴△ADP∽△OFD,
∴
=
,
∵正方形ABCD的边长为1,
∴OD=
×
=
,
∵P是CD的中点,
∴DP=
,
根据勾股定理,AP=
=
,
∴
=
,
解得DF=
,
∴DE=2DF=2×
=
.

由圆周角定理得,∠DAE=
1 |
2 |
由垂径定理可得,∠DOF=
1 |
2 |
又∵∠ADC=∠OFD=90°,
∴△ADP∽△OFD,
∴
OD |
AP |
DF |
DP |
∵正方形ABCD的边长为1,
∴OD=
1 |
2 |
12+12 |
| ||
2 |
∵P是CD的中点,
∴DP=
1 |
2 |
根据勾股定理,AP=
12+(
|
| ||
2 |
∴
| ||||
|
DF | ||
|
解得DF=
| ||
10 |
∴DE=2DF=2×
| ||
10 |
| ||
5 |
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,圆周角定理,垂径定理,正方形的性质,作辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键,也是本题的难点.
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