Question

如图，已知在边长为1的正方形ABCD中，以D为圆心、DA为半径画弧

AC

，E是AB上的一动点，过E作

AC

的切线交BC于点F，切点为G，连GC，过G作GC的垂线交AD与N，交CD的延长线于M．
（1）求证：AE=EG，GF=FC；
（2）设AE=x，用含x的代数式表示FC的长；
（3）在图中，除GF以外，是否还存在与FC相等的线段，是哪些？试证明或说明理由；
（4）当△GDN是等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）根据切线长定理即可得出AE=EG，GF=FC．
（2）根据（1）的结果，那么EF=AE+FC，我们用AE表示出BE，用CF表示出BF，那么可用勾股定理在三角形EBF中求出AE和CF的关系．
（3）应该是ND，可通过构建全等三角形来求解，连接DF，关键是证三角形MND和DFC全等．根据切线长定理和垂径定理，那么DF⊥CG，由于BC是切线，因此∠FCG=∠GMC，根据同角的余角相等可得出∠FDC=∠FCG=∠GMC，又有一组直角，DM=DC（都是半径）由此可得出两三角形全等，那么ND=FC．
（4）如果GDN是等腰三角形，那么只有一种情况GN=ND，此时三角形GND和CGF全等，此时DG=GC=DC，因此可得出三角形DGC是等边三角形，（2）中得出了用x表示CF的式子，那么可在直角三角形MDN中根据特殊角30°和MD即正方形的边长来得出DN的值，然后求出x即可得出AE的长．

解答：解：（1）由于EA、EF、FC都是圆D的切线，且A、G、C是切点，
因此根据切线长定理，可得出AE=EG，GF=FC；

（2）设FC=t，BE=1-x，BF=1-t，EF=x+t，
在直角三角形BEF中，（1-x）²+（1-t）²=（x+t）²，
解出t=

1-x

1+x

，
∴FC=

1-x

1+x

；

（3）存在，ND=FC，GF是⊙D的切线，
∴∠DGF=90°，
连DF，那么DF平分弧GC，且DF⊥CG，
∵∠FCG=90°-∠GCD，∠GMC=90°-∠GCD，
∴∠FCG=∠GMC，
∵∠MDN=∠DCF=90°，MD=DC，
∴△MDN≌△DCF，
∴DN=FC；

（4）当△GDN是等腰三角形时，只能有GN=ND，
∴△GDN≌△GFC，
∴GD=DC=CG，∠DGC=60°，ND=MDtan30°=

3

3

=

1-x

1+x

，
∴x=2-

3

．

点评：本题主要考查了切线长定理、垂径定理，正方形的性质和全等三角形的判定等知识点．根据切线的性质得出角的度数或边相等是解题的关键．