题目内容
【题目】如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB、AC于点E、D,DF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为 .
【答案】3
【解析】
试题分析:连结OD,作DH⊥FG于H,DM⊥BC于M,根据等边三角形的性质得∠A=∠C=∠ABC=60°,AC=BC,根据切线的性质得OD⊥DF,再证明OD∥AB,则DF⊥AB,在Rt△ADF中根据含30度的直角三角形三边的关系得DF=AF=2,由BC为⊙O的直径,根据圆周角定理得∠BDC=90°,则AD=CD=4,OD=4,所以OM=OD=2,在Rt△DFH中可计算出FH=,DH=FH=3,则GM=3,于是OG=GM﹣OM=1,BG=OB﹣OG=3,在Rt△BGF中可计算FG=BG=3.
解:连结OD,作DH⊥FG于H,DM⊥BC于M,如图,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=∠C=∠ABC=60°,AC=BC,
∵DF是圆的切线,
∴OD⊥DF,
∵△ODC为等边三角形,
∴∠ODC=60°,
∴∠A=∠ODC,
∴OD∥AB,
∴DF⊥AB,
在Rt△ADF中,AF=2,∠A=60°,
∴AD=4,DF=AF=2,
∵BC为⊙O的直径,
∴∠BDC=90°,
∴BD⊥AC,
∴AD=CD=4,
∴OD=4,
∴OM=OD=2,
在Rt△DFH中,∠DFH=60°,DF=2,
∴FH=,DH=FH=3,
∴GM=3,
∴OG=GM﹣OM=1,
∴BG=OB﹣OG=3,
在Rt△BGF中,∠FBG=60°,BG=3,
∴FG=BG=3.
故答案为3.
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