Question

（2002•淮安）（1）已知关于x的方程x²-2ax+a²-2a+2=0的两个实数根x₁，x₂满足x₁²+x₂²=2，求a的值．
（2）如图，在平行四边形ABCD中，延长BA至E，使AE=AB，连接CE交AD于F点，
①求证：AF=DF；
②若S_ABCD=12，求S_△AEF．

Answer 1

分析：（1）根据根与系数的关系得出x₁+x₂=2a，x₁•x₂=a²-2a+2，代入(x1+x2) 2-2x₁•x₂=2，得出一个关于a的方程，求出方程的解即可；
（2）①推出AB=CD，AB∥CD，推出AE=CD，证△EAF与△CDF全等即可；②过C作CM⊥AD于M，得出AB×CM=12，根据三角形的面积公式求出即可．

解答：（1）解：根据根与系数的关系得：x₁+x₂=2a，x₁•x₂=a²-2a+2，
∵x₁²+x₂²=2，
∴(x1+x2) 2-2x₁•x₂=2，
即4a²-2（a²-2a+2）=2，
解得：a₁=-3，a₂=1．
即a的值是-3或1．

（2）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AB=AE，
∴AE=CD，
∵AB∥CD，
∴∠E=FCD，∠D=∠EAF，
在△EAF和△CDF中

∠E=∠FCD AE=CD ∠D=∠EAF

，
∴△EAF≌△CDF，
∴AF=DF．

②解：过C作CM⊥AD于M，
∵S_ABCD=12，
∴AD×CM=12，
∴S_△AEF=S_△DCF=

1

2

DF×CM=

1

2

×

1

2

AB×CM=

1

4

×12=3，
即S_△AEF=3．

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，根与系数的关系，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，注意：x₁+x₂=2a，x₁•x₂=a²-2a+2．