Question

【题目】如图， 已知等边， 点在射线上（不与重合），连接， 将射线绕点逆时针旋转交射线于点，过点作交直线于点.

（1）如图1，当点D为线段BC中点时，请直接写出CF，BE，CD三条线段之间的数量；

（2）如图2，“点在线段上且不是中点时，中结论是否成立？若成立，请说明理由。若不成立，请写出正确的结论并说明理由；

（3）若，当时，请直接写出线段的长.

Answer 1

【答案】（1）（2）成立，理由见解析（3）或或

【解析】

（1）由CF∥AB，点D为线段BC中点可得△BDE≌△CDF，根据射线绕点逆时针旋转，推出∠CDF=30°，CF=CD即可得出结论；

（2）作CG∥EF，可得四边形是平行四边形，根据平行线的性质和等边三角形的性质可推出△BCG≌△CAD即可得出结论；

（3）分点D在线段BC上和点D在BC的延长线上两种情况进行讨论，根据△BDE∽△CDF，对应边成比例即可求出答案．

（1），

证明：∵△ABC是等边三角形，点D为线段BC中点，

∴∠ADB=90°，BD=CD，

∵CF∥AB，

∴∠DBE=∠DCF，

∵∠BDE=∠CDF

∴△BDE≌△CDF，

∴BE=CF，

∵射线绕点逆时针旋转，

∴∠ADE=60°，

∴∠BDE=∠CDF=30°，

∴CF=CD

∴CF+BE=CD；

（2）成立

理由：作CG∥EF，交AB于点G，如图，

∵

四边形是平行四边形

，

∵是等边三角形

，

又∵，

∵

∴△BCG≌△CAD，

∵

；

（3）当点D在线段BC上，

设CF=x，则EG=x，

∵CF∥AB，

∴△BDE∽△CDF，

∴，

∴ ，

∴，，

当点D在BC的延长线上，如图，

同理可得：△BCG≌△CAD，

∴BE-CF=CD，

设CF=x，则CD=，

∵CF∥AB，

∴△BDE∽△CDF，

∴，

∴ ，解得：

，（舍去），

综上所述，CF的长为：或或．