题目内容

【题目】如图,AC是矩形ABCD的对角线,过AC的中点OEFAC,交BC于点E,交AD于点F,连接AECF.

(1)求证:四边形AECF是菱形;

(2)AB=2BC=4,求四边形AECF的面积.

【答案】(1)见解析;(2)5.

【解析】

1)由四边形ABCD是矩形可以得到∠DAC=BCA ,过AC的中点0EFAC,由线段的垂直平分线可知AF=CFAE=CE,则有∠DAC=FCA,等量代混得∠BCA=FCA,根据三角形的内角和可得∠OEC=OFC,根据等腰三角形性质和菱形的性质,即可得出四边形AECF菱形;

2)由四边形AECF为菱形可得AE=EC,设AE=x,根据AB=2BC=4和勾股定理可以求出AE,利用求出即可.

(1)证明:∵四边形ABCD是矩形

ADBC

∴∠DAC=BCA

又∵过AC的中点0EFAC

AF=CFAE=CE

∴∠DAC=FCA

∴∠BCA=FCA,∠COE=90°

∴∠OEC=OFC

EC=FC

AF=CF=CE=AE

四边形AECF菱形

(2)(1)得,四边形AECF为菱形

AE=EC

AE=x,则BE=BC-EC=

RtΔABE中,

即:

解得,

.

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