题目内容
【题目】如图,AC是矩形ABCD的对角线,过AC的中点O作EF⊥AC,交BC于点E,交AD于点F,连接AE,CF.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)若AB=2,BC=4,求四边形AECF的面积.
【答案】(1)见解析;(2)5.
【解析】
(1)由四边形ABCD是矩形可以得到∠DAC=∠BCA ,过AC的中点0作EF⊥AC,由线段的垂直平分线可知AF=CF,AE=CE,则有∠DAC=∠FCA,等量代混得∠BCA=∠FCA,根据三角形的内角和可得∠OEC=∠OFC,根据等腰三角形性质和菱形的性质,即可得出四边形AECF菱形;
(2)由四边形AECF为菱形可得AE=EC,设AE=x,根据AB=2,BC=4和勾股定理可以求出AE,利用求出即可.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠DAC=∠BCA
又∵过AC的中点0作EF⊥AC
∴AF=CF,AE=CE
∴∠DAC=∠FCA
∴∠BCA=∠FCA,∠COE=90°
∴∠OEC=∠OFC
∴EC=FC
∴AF=CF=CE=AE
四边形AECF菱形
(2)由(1)得,四边形AECF为菱形
∴AE=EC
设AE=x,则BE=BC-EC=
在RtΔABE中,
即:
解得,
∴
.

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