题目内容
(2006•长春)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象经过点M(1,-2)、N(-1,6).(1)求二次函数y=x2+bx+c的关系式;
(2)把Rt△ABC放在坐标系内,其中∠CAB=90°,点A、B的坐标分别为(1,0),(4,0),BC=5.将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在抛物线上时,求△ABC平移的距离.

【答案】分析:(1)由于抛物线中只有b,c两个待定系数,因此可直接将M、N两点的坐标代入抛物线的解析式中求出抛物线的解析式.
(2)先在直角三角形ABC中,求出AC的长.由于△ABC是向右平移,因此C点的纵坐标不变,可将C点的纵坐标代入抛物线的解析式中,得出第一象限内点的横坐标,即为平移后C点的横坐标,然后让C点的横坐标减去OA的长即可得出平移的距离.
解答:解:(1)∵M(1,-2),N(-1,6)在二次函数y=x2+bx+c的图象上,
∴
解得
二次函数的关系式为y=x2-4x+1.
(2)Rt△ABC中,AB=3,BC=5,
∴AC=4,
4=x2-4x+1,x2-4x-3=0,
解得
(负值不合题意舍去)
∵A(1,0),
∴点C落在抛物线上时,△ABC向右平移(1+
)个单位.
点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形平移变换、勾股定理等知识点.
(2)中弄清平移前后C点的纵坐标不变是解题的关键.
(2)先在直角三角形ABC中,求出AC的长.由于△ABC是向右平移,因此C点的纵坐标不变,可将C点的纵坐标代入抛物线的解析式中,得出第一象限内点的横坐标,即为平移后C点的横坐标,然后让C点的横坐标减去OA的长即可得出平移的距离.
解答:解:(1)∵M(1,-2),N(-1,6)在二次函数y=x2+bx+c的图象上,
∴

解得

二次函数的关系式为y=x2-4x+1.
(2)Rt△ABC中,AB=3,BC=5,
∴AC=4,
4=x2-4x+1,x2-4x-3=0,
解得

∵A(1,0),
∴点C落在抛物线上时,△ABC向右平移(1+

点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形平移变换、勾股定理等知识点.
(2)中弄清平移前后C点的纵坐标不变是解题的关键.

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