题目内容
(2006•长春)如图,在平面直角坐标系中,两个函数y=x,y=-
(1)求点A的坐标.
(2)试求出点P在线段OA上运动时,S与运动时间t(秒)的关系式.
(3)在(2)的条件下,S是否有最大值若有,求出t为何值时,S有最大值,并求出最大值;若没有,请说明理由.
(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动,当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时,运动时间t满足的条件是______

【答案】分析:(1)因为两个函数y=x,y=-
x+6的图象交于点A,所以将两个函数的解析式联立,得到方程组,解之即可;
(2)因为点P在直线OA即y=x上以每秒1个单位的速度运动,所以OP=t,而OA是第一、三象限坐标轴夹角的平分线,所以点P坐标为
,又因PQ∥x轴交直线BC于点Q,所以可得点Q的纵坐标为
,并且点Q在y=-
x+6上,因此可得到关于x、t的关系式,经过变形可用t表示x,即得到点Q坐标为
,
,当重叠部分是正方形时,分情况代入面积公式中求解;
(3)结合(2)中的关系式可知有最大值,并且最大值应在
中,利用二次函数最值的求法就可得到S的最大值为12;
(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动,当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积正好最大时,此时重合部分就是△AOB,B的坐标为(12,0),并且有PB⊥OB,PB=OB=12,所以OP=12
,即t≥12
.
解答:
解:(1)由
可得
,
∴A(4,4);
(2)点P在y=x上,OP=t,
则点P坐标为
,
点Q的纵坐标为
,并且点Q在y=-
x+6上,
∴
,
即点Q坐标为
,
,
当
时,
,
当
时,
,
当点P到达A点时,
,
当
时,
,
=
;
(3)有最大值,最大值应在
中,
,
当
时,S的最大值为12;
(4)当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积正好最大时,此时重合部分就是△AOB,
∵B的坐标为(12,0),PB⊥OB,
∴PB=OB=12,
∴OP=12
,
∴t≥12
.
点评:解决本题这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.

(2)因为点P在直线OA即y=x上以每秒1个单位的速度运动,所以OP=t,而OA是第一、三象限坐标轴夹角的平分线,所以点P坐标为





(3)结合(2)中的关系式可知有最大值,并且最大值应在

(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动,当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积正好最大时,此时重合部分就是△AOB,B的坐标为(12,0),并且有PB⊥OB,PB=OB=12,所以OP=12


解答:



∴A(4,4);
(2)点P在y=x上,OP=t,
则点P坐标为

点Q的纵坐标为


∴

即点Q坐标为


当


当


当点P到达A点时,

当


=

(3)有最大值,最大值应在


当

(4)当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积正好最大时,此时重合部分就是△AOB,
∵B的坐标为(12,0),PB⊥OB,
∴PB=OB=12,
∴OP=12

∴t≥12

点评:解决本题这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.

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