Question

（2013•凉山州）如图，抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；
（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax²-2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；
（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），
∴

9a-6a+c=0 c=4

，解得

a=- 4 3 c=4

，
∴抛物线的解析式为y=-

4

3

x²+

8

3

x+4；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（3，0），点C（0，4），
∴

3k+b=0 b=4

，解得

k=- 4 3 b=4

，
∴直线AC的解析式为y=-

4

3

x+4．
∵点M的横坐标为m，点M在AC上，
∴M点的坐标为（m，-

4

3

m+4），
∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=-

4

3

x²+

8

3

x+4上，
∴点P的坐标为（m，-

4

3

m²+

8

3

m+4），
∴PM=PE-ME=（-

4

3

m²+

8

3

m+4）-（-

4

3

m+4）=-

4

3

m²+4m，
即PM=-

4

3

m²+4m（0＜m＜3）；

（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：
由题意，可得AE=3-m，EM=-

4

3

m+4，CF=m，PF=-

4

3

m²+

8

3

m+4-4=-

4

3

m²+

8

3

m．
若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：
①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，
即（-

4

3

m²+

8

3

m）：（3-m）=m：（-

4

3

m+4），
∵m≠0且m≠3，
∴m=

23

16

．
∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME，
∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．
在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，
∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，
∴△PCM为直角三角形；
②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，
即m：（3-m）=（-

4

3

m²+

8

3

m）：（-

4

3

m+4），
∵m≠0且m≠3，
∴m=1．
∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，
∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．
∴CP=CM，
∴△PCM为等腰三角形．
综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为

23

16

或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．

点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．