Question

（2010•小店区）在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，BA=．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）过B作BH⊥x轴于H，则OH=BC=3，进而可求得AH的长，在Rt△ABH中，根据勾股定理即可求出BH的长，由此可得B点坐标；
（2）过E作EG⊥x轴于G，易得△OGE∽△OHB，根据相似三角形的对应边成比例可求出EG、OG的长，即可得到E点的坐标，进而可用待定系数法求出直线DE的解析式；
（3）此题应分情况讨论：
①以OD、ON为边的菱形ODMN，根据直线DE的解析式可求出F点的坐标，即可得到OF的长；过M作MP⊥y轴于P，通过构建的相似三角形可求出M点的坐标，将M点向下平移OD个单位即可得到N点的坐标；
②以OD、OM为边的菱形ODNM，此时MN∥y轴，延长NM交x轴于P，可根据直线DE的解析式用未知数设出M点的坐标，进而可在Rt△OMP中，由勾股定理求出M点的坐标，将M点向上平移OD个单位即可得到N点的坐标；
③以OD为对角线的菱形OMCN，根据菱形对角线互相垂直平分的性质即可求得M、N的纵坐标，将M点纵坐标代入直线DE的解析式中即可求出M点坐标，而M、N关于y轴对称，由此可得到N点的坐标．
解答：解：（1）作BH⊥x轴于点H，则四边形OHBC为矩形，
∴OH=CB=3，（1分）
∴AH=OA-OH=6-3=3，
在Rt△ABH中，BH===6，（2分）
∴点B的坐标为（3，6）；（3分）

（2）作EG⊥x轴于点G，则EG∥BH，
∴△OEG∽△OBH，（4分）
∴，
又∵OE=2EB，
∴，
∴=，
∴OG=2，EG=4，
∴点E的坐标为（2，4），（5分）
又∵点D的坐标为（0，5），
设直线DE的解析式为y=kx+b，
则，
解得k=-，b=5，
∴直线DE的解析式为：y=-x+5；（7分）

（3）答：存在（8分）
①如图1，当OD=DM=MN=NO=5时，四边形ODMN为菱形．作MP⊥y轴于点P，则MP∥x轴，∴△MPD∽△FOD
∴，
又∵当y=0时，-x+5=0，
解得x=10，
∴F点的坐标为（10，0），
∴OF=10，
在Rt△ODF中，FD===5，
∴，
∴MP=2，PD=，
∴点M的坐标为（-2，5+），
∴点N的坐标为（-2，）；（10分）

②如图2，当OD=DN=NM=MO=5时，四边形ODNM为菱形．延长NM交x轴于点P，则MP⊥x轴．
∵点M在直线y=-x+5上，
∴设M点坐标为（a，-a+5），
在Rt△OPM中，OP²+PM²=OM²，
∴a²+（-a+5）²=5²，
解得：a₁=4，a₂=0（舍去），
∴点M的坐标为（4，3），
∴点N的坐标为（4，8）；（12分）

③如图3，当OM=MD=DN=NO时，四边形OMDN为菱形，连接NM，交OD于点P，则NM与OD互相垂直平分，
∴y_M=y_N=OP=，
∴-x_M+5=，
∴x_M=5，
∴x_N=-x_M=-5，
∴点N的坐标为（-5，），（14分）
综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为N₁（-2，），N₂（4，8），N₃（-5，）．
（其它解法可参照给分）
点评：此题主要考查了梯形的性质、相似三角形的判定和性质、一次函数解析式的确定以及菱形的判定和性质等知识的综合应用，需注意的是（3）题要根据菱形的不同构成情况分类讨论，以免漏解．