题目内容

解：设这个正多边形的边数为n

由题意得：

解得：

故每一个内角的度数为：

答：这个正多边形的边数为9，每一个内角的度数为.

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（2012•青岛模拟）同学们已经认识了很多正多边形，现以正六边形为例再介绍与正多边形相关的几个概念．如正六边形ABCDEF各边对称轴的交点O，又称正六边形的中心，其中OA称正六边形的半径，通常用R表示，∠AOB称为中心角，显然．提出问题：正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径R和中心角有什么关系？
探索发现：
（1）为了解决这个问题，我们不妨从最简单的正多边形--正三角形入手．
如图①，△ABC是正三角形，半径OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC内任意一点，P到△ABC各边距离分别为h₁、h₂、h₃，确定h₁+h₂+h₃的值与△ABC的半径R及中心角的关系．
解：设△ABC的边长是a，面积为S，显然S=

a（h₁+h₂+h₃）
O为△ABC的中心，连接OA、OB、OC，它们将△ABC分成三个全等的等腰三角形，过点O作OM⊥AB，垂足为M，Rt△AOM中，易知
OM=OAcos∠AOM=Rcos

×120°=Rcos60°，
AM=OAsin∠AOM=Rsin

×120°=Rcos60°
∴AB=a=2AM=2Rsin60°
∴S_△AOB=

×2Rsin60°•Rcos60°=R²sin60°cos60°
∴S_△ABC=3S_△AOB=3R²sin60°cos60°
∴

a（h₁+h₂+h₃）=3R²sin60°cos60°
即：

×2Rsin60°（h₁+h₂+h₃）=3R²sin60°cos60°
∴h₁+h₂+h₃=3Rcos60°
（2）如图②，五边形ABCDE是正五边形，半径是R，P是正五边形ABCDE内任意一点，P到五边形ABCDE各边距离分别为h₁、h₂、h₃、h₄、h₅，参照（1）的探索过程，确定h₁+h₂+h₃+h₄+h₅的值与正五边形ABCDE的半径R及中心角的关系．
（3）类比上述探索过程，直接填写结论
正六边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和 h₁+h₂+h₃+h₄+h₅+h₆=

正八边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和 h₁+h₂+h₃+h₄+h₅+h₆+h₇+h₈=

正n边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和 h₁+h₂+…+h_n=

同学们已经认识了很多正多边形，现以正六边形为例再介绍与正多边形相关的几个概念．如正六边形ABCDEF各边对称轴的交点O，又称正六边形的中心，其中OA称正六边形的半径，通常用R表示，∠AOB称为中心角，显然．提出问题：正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径R和中心角有什么关系？
探索发现：
（1）为了解决这个问题，我们不妨从最简单的正多边形--正三角形入手．
如图①，△ABC是正三角形，半径OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC内任意一点，P到△ABC各边距离分别为h₁、h₂、h₃，确定h₁+h₂+h₃的值与△ABC的半径R及中心角的关系．
解：设△ABC的边长是a，面积为S，显然S= $数学公式$ a（h₁+h₂+h₃）
O为△ABC的中心，连接OA、OB、OC，它们将△ABC分成三个全等的等腰三角形，过点O作OM⊥AB，垂足为M，Rt△AOM中，易知
OM=OAcos∠AOM=Rcos $数学公式$ ∠AOB=Rcos $数学公式$ ×120°=Rcos60°，
AM=OAsin∠AOM=Rsin $数学公式$ ∠AOB=Rsin $数学公式$ ×120°=Rcos60°
∴AB=a=2AM=2Rsin60°
∴S_△AOB= $数学公式$ AB×OM= $数学公式$ ×2Rsin60°•Rcos60°=R²sin60°cos60°
∴S_△ABC=3S_△AOB=3R²sin60°cos60°
∴ $数学公式$ a（h₁+h₂+h₃）=3R²sin60°cos60°
即： $数学公式$ ×2Rsin60°（h₁+h₂+h₃）=3R²sin60°cos60°
∴h₁+h₂+h₃=3Rcos60°
（2）如图②，五边形ABCDE是正五边形，半径是R，P是正五边形ABCDE内任意一点，P到五边形ABCDE各边距离分别为h₁、h₂、h₃、h₄、h₅，参照（1）的探索过程，确定h₁+h₂+h₃+h₄+h₅的值与正五边形ABCDE的半径R及中心角的关系．
（3）类比上述探索过程，直接填写结论
正六边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和 h₁+h₂+h₃+h₄+h₅+h₆=
正八边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和 h₁+h₂+h₃+h₄+h₅+h₆+h₇+h₈=
正n边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和 h₁+h₂+…+h_n=________．

同学们已经认识了很多正多边形，现以正六边形为例再介绍与正多边形相关的几个概念．如正六边形ABCDEF各边对称轴的交点O，又称正六边形的中心，其中OA称正六边形的半径，通常用R表示，∠AOB称为中心角，显然．提出问题：正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径R和中心角有什么关系？
探索发现：
（1）为了解决这个问题，我们不妨从最简单的正多边形--正三角形入手．
如图①，△ABC是正三角形，半径OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC内任意一点，P到△ABC各边距离分别为h₁、h₂、h₃，确定h₁+h₂+h₃的值与△ABC的半径R及中心角的关系．
解：设△ABC的边长是a，面积为S，显然S=

a（h₁+h₂+h₃）
O为△ABC的中心，连接OA、OB、OC，它们将△ABC分成三个全等的等腰三角形，过点O作OM⊥AB，垂足为M，Rt△AOM中，易知
OM=OAcos∠AOM=Rcos

×120°=Rcos60°，
AM=OAsin∠AOM=Rsin

×120°=Rcos60°
∴AB=a=2AM=2Rsin60°
∴S_△AOB=

×2Rsin60°•Rcos60°=R²sin60°cos60°
∴S_△ABC=3S_△AOB=3R²sin60°cos60°
∴

a（h₁+h₂+h₃）=3R²sin60°cos60°
即：

×2Rsin60°（h₁+h₂+h₃）=3R²sin60°cos60°
∴h₁+h₂+h₃=3Rcos60°
（2）如图②，五边形ABCDE是正五边形，半径是R，P是正五边形ABCDE内任意一点，P到五边形ABCDE各边距离分别为h₁、h₂、h₃、h₄、h₅，参照（1）的探索过程，确定h₁+h₂+h₃+h₄+h₅的值与正五边形ABCDE的半径R及中心角的关系．
（3）类比上述探索过程，直接填写结论
正六边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和 h₁+h₂+h₃+h₄+h₅+h₆=______
正八边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和 h₁+h₂+h₃+h₄+h₅+h₆+h₇+h₈=______
正n边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和 h₁+h₂+…+h_n=______．