Question

同学们已经认识了很多正多边形，现以正六边形为例再介绍与正多边形相关的几个概念．如正六边形ABCDEF各边对称轴的交点O，又称正六边形的中心，其中OA称正六边形的半径，通常用R表示，∠AOB称为中心角，显然．提出问题：正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径R和中心角有什么关系？
探索发现：
（1）为了解决这个问题，我们不妨从最简单的正多边形--正三角形入手．
如图①，△ABC是正三角形，半径OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC内任意一点，P到△ABC各边距离分别为h₁、h₂、h₃ ，确定h₁+h₂+h₃的值与△ABC的半径R及中心角的关系．
解：设△ABC的边长是a，面积为S，显然S=a（h₁+h₂+h₃）
O为△ABC的中心，连接OA、OB、OC，它们将△ABC分成三个全等的等腰三角形，过点O作OM⊥AB，垂足为M，Rt△AOM中，易知
OM=OAcos∠AOM=Rcos∠AOB=Rcos×120°=Rcos60°，
AM=OAsin∠AOM=Rsin∠AOB=Rsin×120°=Rcos60°
∴AB=a=2AM=2Rsin60°
∴S_△AOB=AB×OM=×2Rsin60°•Rcos60°=R²sin60°cos60°
∴S_△ABC=3S_△AOB=3R²sin60°cos60°
∴a（h₁+h₂+h₃）=3R²sin60°cos60°
即：×2Rsin60°（h₁+h₂+h₃）=3R²sin60°cos60°
∴h₁+h₂+h₃=3Rcos60°
（2）如图②，五边形ABCDE是正五边形，半径是R，P是正五边形ABCDE内任意一点，P到五边形ABCDE各边距离分别为h₁、h₂、h₃、h₄、h₅，参照（1）的探索过程，确定h₁+h₂+h₃+h₄+h₅的值与正五边形ABCDE的半径R及中心角的关系．
（3）类比上述探索过程，直接填写结论
正六边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和 h₁+h₂+h₃+h₄+h₅+h₆=________
正八边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和 h₁+h₂+h₃+h₄+h₅+h₆+h₇+h₈=________
正n边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和 h₁+h₂+…+h_n=________．

Answer 1

解：（2）设正五边形的边长是a，面积为S，显然S=a（h₁+h₂+h₃+h₄+h₅）
O为正五边形的中心，连接OA、OB、OC、OD、OE，它们将五边形分成五个全等的等腰三角形，
过点O作OQ⊥AB，垂足为Q，Rt△AOQ中，易知
OQ=OAcos∠AOQ=Rcos∠AOB=Rcos×72°=Rcos36°，
AQ=OAsin∠AOQ=Rsin∠AOB=Rsin×72°=Rsin36°，
∴AB=a=2AQ=2Rsin36°，
∴S_△AOB=AB×OQ=×2Rsin36°•Rcos36°=R²sin36°cos36°，
∴S_{正五边形ABCDE}=5S_△AOB=5R²sin36°cos36°，
∴a（h₁+h₂+h₃+h₄+h₅）=5R²sin36°cos36°，
即：×2Rsin36°（h₁+h₂+h₃+h₄+h₅）=5R²sin36°cos36°，
∴h₁+h₂+h₃+h₄+h₅=5Rcos36°；

（3）正六边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和 h₁+h₂+h₃+h₄+h₅+h₆=6Rcos30°，
正八边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和 h₁+h₂+h₃+h₄+h₅+h₆+h₇+h₈=8Rcos22.5°，
正n边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和 h₁+h₂+…+h_n=nRcos．
分析：（2）设正五边形的边长是a，面积为S，得到S=a（h₁+h₂+h₃+h₄+h₅），O为正五边形的中心，连接OA、OB、OC、OD、OE，它们将五边形分成五个全等的等腰三角形，过点O作OQ⊥AB，垂足为Q，Rt△AOQ中表示出OQ、AQ、AB后即可表示出h₁+h₂+h₃+h₄+h₅的值．
（3）利用上题总结的规律表示出其他的正多边形即可．
点评：本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是熟知正多边形各元素与圆之间的关系．