题目内容

定义一种对于三位数
.
abc
(a、b、c不完全相同)的“F运算”:重排
.
abc
的三个数位上的数字,计算所得最大三位数和最小三位数的差(允许百位数字为零).例如
.
abc
=213
时,则

(1)579经过三次“F运算”得
495
495

(2)假设
.
abc
中a>b>c,则
.
abc
经过一次“F运算”得
99(a-c)
99(a-c)
(用代数式表示);
(3)猜想;任意一个三位数经过若干次“F运算’’都会得到一个定值
495
495
,请证明你的猜想.
分析:(1)根据“F运算”的定义得到579经过三次“F运算”的结果即可;
(2)
.
abc
=100a+10b+c,
.
cba
=100c+10b+a,相减即可求解;
(3)设这个三位数中三个数字为a≥b≥c,且a≥c+1,则“F运算”有
.
abc
-
.
cba
=99(a-c)=100(a-c-1)+10×9+(10+c-a),找出规律解决问题.
解答:解:(1)①975-579=396;②963-369=594;③954-459=495;

(2)(100a+10b+c)-(100c+10b+a)
=100a+10b+c-100c-10b-a
=99a-99c
=99(a-c);

(3)不妨设这个三位数中三个数字为a≥b≥c,且a≥c+1,
则“F运算”有
.
abc
-
.
cba
=99(a-c)=100(a-c-1)+10×9+(10+c-a),
因此所得的三位数中必有一个9,而另外两个数字之和为9;
共有990,981,972,963,954五种情况;
以990为例得,990-099=891,
981-189=792,
972-279=693,
963-369=594,
954-459=495,

由此可知最后得到495数就会循环.
故答案为:495;99(a-c);495.
点评:考查了整数的十进制表示法,主要从数的变化中得到第一次变化后所得到的数,由此找出规律得出问题的解.设出这三位数,根据题意列出算式是解答本题的关键.
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