Question

（2013•云南）如图，四边形ABCD是等腰梯形，下底AB在x轴上，点D在y轴上，直线AC与y轴交于点E（0，1），点C的坐标为（2，3）．
（1）求A、D两点的坐标；
（2）求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式；
（3）在y轴上是否在点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求出直线EC的解析式，确定点A的坐标；然后利用等腰梯形的性质，确定点D的坐标；
（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）满足条件的点P存在，且有多个，需要分类讨论：
①作线段AC的垂直平分线，与y轴的交点，即为所求；
②以点A为圆心，线段AC长为半径画弧，与y轴的两个交点，即为所求；
②以点C为圆心，线段CA长为半径画弧，与y轴的两个交点，即为所求．

解答：解：（1）设直线EC的解析式为y=kx+b，根据题意得：

b=1 2k+b=3

，解得

k=1 b=1

，
∴y=x+1，
当y=0时，x=-1，
∴点A的坐标为（-1，0）．
∵四边形ABCD是等腰梯形，C（2，3），
∴点D的坐标为（0，3）．

（2）设过A（-1，0）、D（0，3）、C（2，3）三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：

a-b+c=0 c=3 4a+2b+c=3

，解得

a=-1 b=2 c=3

，
∴抛物线的关系式为：y=-x²+2x+3；

（3）存在．
①作线段AC的垂直平分线，交y轴于点P₁，交AC于点F．
∵OA=OE，∴△OAE为等腰直角三角形，∠AEO=45°，
∴∠FEP₁=∠AEO=45°，∴△FEP₁为等腰直角三角形．
∵A（-1，0），C（2，3），点F为AC中点，
∴F（

1

2

，

3

2

），
∴等腰直角三角形△FEP₁斜边上的高为

1

2

，
∴EP₁=1，
∴P₁（0，2）；
②以点A为圆心，线段AC长为半径画弧，交y轴于点P₂，P₃．
可求得圆的半径长AP₂=AC=3

2

．
连接AP₂，则在Rt△AOP₂中，
OP₂=

AP22-OA2

=

(3 2 )2-12

=

17

，
∴P₂（0，

17

）．
∵点P₃与点P₂关于x轴对称，∴P₃（0，-

17

）；
③以点C为圆心，线段CA长为半径画弧，交y轴于点P₄，P₅，则圆的半径长CP₄=CA=3

2

，
在Rt△CDP₄中，CP₄=3

2

，CD=2，
∴DP₄=

CP42-CD2

=

(3 2 )2-22

=

14

，
∴OP₄=OD+DP₄=3+

14

，
∴P₄（0，3+

14

）；
同理，可求得：P₅（0，3-

14

）．
综上所述，满足条件的点P有5个，分别为：P₁（0，2），P₂（0，

17

），P₃（0，-

17

），P₄（0，3+

14

），P₅（0，3-

14

）．

点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点．难点在于第（3）问，符合条件的点P有多个，需要分类讨论，避免漏解；其次注意解答中确定等腰三角形的方法，即作垂直平分线、作圆来确定等腰三角形．