Question

【题目】如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线y=+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．

(1)、求b,c的值；

(2)、点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

(3)、在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)、b=－2；c=－3；(2)、（，）；(3)、；，（

【解析】

试题分析：(1)、根据题意求出点A、点B的坐标，然后代入解析式求出b、c的值；(2)、射线求出直线AB的解析式，设出点E和F的坐标，求出EF的长度，然后根据函数的性质求出最值；(3)、首先求出点D和点F的坐标，将四边形的面积转化成△BEF和△DEF进行求解；过点E作a⊥EF交抛物线与点P，设出点P的坐标，解出方程；过F作b⊥EF交抛物线与点P，设出点P的坐标，解出方程.

试题解析：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）∵二次函数y=+bx+c的图像经过点A（-1，0）B(4,5)

∴ 解得：b=-2 c=-3

(2)、如图：∵直线AB经过点A（-1，0） B(4,5) ∴直线AB的解析式为：y=x+1

∵二次函数y=－2x－3 ∴设点E(t，t+1),则F（t，－2t－3）

∴EF=(t+1)－(－2t－3)=

∴当时，EF的最大值= ∴点E的坐标为（，）

①如图：

顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．

可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4）

S=S+S

==

②如图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,)则有：解得:, ∴,

ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于，设（n，）则有：

解得： ，（与点F重合，舍去）∴

综上所述：所有点P的坐标：，（能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．