Question

如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t（s）．△APQ的面积S（cm²）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．
 
（1）求点Q运动的速度；
（2）求图2中线段FG的函数关系式；
（3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由1（cm/s）
（2）FG段的函数表达式为：（6≤t≤9）。
（3）存在。理由见解析。

解析分析：（1）根据函数图象中E点所代表的实际意义求解．E点表示点P运动到与点B重合时的情形，运动时间为3s，可得AB=6cm；再由，可求得AQ的长度，进而得到点Q的运动速度。
（2）函数图象中线段FG，表示点Q运动至终点D之后停止运动，而点P在线段CD上继续运动的情形．如答图2所示，求出S的表达式，并确定t的取值范围。
（3）当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3所示，求出t的值。当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4所示，求出t的值。
解：（1）由题意，可知题图2中点E表示点P运动至点B时的情形，所用时间为3s，则菱形的边长AB=2×3=6cm。
此时如图1所示，

AQ边上的高，
，解得AQ=3（cm）。
∴点Q的运动速度为：3÷3=1（cm/s）。
（2）由题意，可知题图2中FG段表示点P在线段CD上运动时的情形，如图2所示，

点Q运动至点D所需时间为：6÷1=6s，点P运动至点C所需时间为12÷2=6s，至终点D所需时间为18÷2=9s。
因此在FG段内，点Q运动至点D停止运动，点P在线段CD上继续运动，且时间t的取值范围为：6≤t≤9。
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，则

。
∴FG段的函数表达式为：（6≤t≤9）。
（3）存在。
菱形ABCD的面积为：6×6×sin60°=18。
当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如图3所示，

此时△APQ的面积。
根据题意，得，解得s。
当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如图4所示，

此时，有，
即，解得s。
综上所述，存在s和t=s，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分。