Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线：和直线：，点和均在直线上．

（1）求直线的解析式；

（2）若抛物线过点，且抛物线与线段有两个不同的交点，求的取值范围；

（3）将直线下移2个单位得到直线，直线与抛物线：交于、两点，若点的横坐标为，点的横坐标为，当，时，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y=2x+2；（2）-＜a≤-2或a≥4；（3）或

【解析】

（1）利用待定系数法将点A和点B坐标代入直线表达式求解即可；

（2）将点E坐标代入，求出抛物线表达式，将一次直线解析式和二次函数解析式联立方程，求出使得这个方程有两个不同的实数根时a的取值范围，然后再根据抛物线y=ax2-x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，利用分类讨论的方法即可求得a的取值范围，本题得以解决；

（3）根据题意得出l1的表达式，联立抛物线和直线表达式，得，根据求出2a+1=，再分0＜x1＜2，-2＜x1＜0两种情况，分别解不等式求出b的取值范围即可.

解：（1）∵点和均在直线上，代入得

，

解得：，

∴直线l的解析式为：y=2x+2；

（2）∵抛物线过点，代入抛物线表达式，

得：a+b+1=a，解得b=-1，

∴抛物线表达式为y=ax2-x+1，

∵抛物线与线段AB有两个不同的交点，

令2x+2=ax2-x+1，
则ax2-3x-1=0，
若直线y=2x+2与抛物线y=ax2-x+1（a≠0）有两个不同的交点，
则△=（-3）2-4a×（-1）＞0，
解得，a＞-，

∵抛物线y=ax2-x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，点A（，1）和B（1，4），
∴当-＜a＜0时，，

解得，-＜a≤-2，

当a＞0时，，

解得，a≥4；
由上可得，a的取值范围是-＜a≤-2或a≥4；

（3）由平移可知直线l1的表达式为：y=2x，

联立直线和抛物线得：，化简得：，

可知x1x2=，x1x2同号，

若0＜x1＜2，则x2- x1=2，

∴x2=x1+2＞2，4a+2b-3＜0，①

又∵===4，

∴2a+1=，代入①得：

②，

解得：；

若-2＜x1＜0，则x2=-2+x1＜-2，

∴4a-2b+5＜0，③

将2a+1=代入③，得

＜2b-3，④

解得：；

综上：或.