题目内容

【题目】已知,经过点A(-4,4)的抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点B(-3,0)及原点O.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,过点A作AH⊥x轴,垂足为H,平行于y轴的直线交线段AO于点Q,交抛物线于点P,当四边形AHPQ为平行四边形时,求∠AOP的度数;

(3)如图2,若点C在抛物线上,且∠CAO=∠BAO,试探究:在(2)的条件下,是否存在点G,使得△GOP∽△COA?若存在,请求出所有满足条件的点G坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)

(2)∠AOP=AOH+POH=45o+45o=90o

(3)存在,直线AC解析式为

【解析】试题分析:(1)根据已知点的坐标利用待定系数法确定二次函数的解析式即可;

2)设点P坐标为(mm2+3m),从而得到直线OA的解析式为y=-x,然后表示出点Q的坐标为(m-m),进而表示出PQ=-m-m2+3m=-m2-4m,利用当四边形AHPQ为平行四边形时,PQ=AH=4得到-m2-4m=4,从而求得m的值,进而确定答案;

3)设ACy轴于点D,由点A-44)得,AOB=AOD=45°,从而证得AOD≌△AOB后表示点D坐标为(03),从而确定直线AC解析式,

试题解析:(1)由题意,得

,解得

抛物线的解析式为y=x2+3x

2)设点P坐标为(mm2+3m),其中-4m0

A-44),

直线OA的解析式为y=-x

从而点Q的坐标为(m-m

PQ=-m-m2+3m=-m2-4m

当四边形AHPQ为平行四边形时,PQ=AH=4

-m2-4m=4,解得m=-2

此时点P坐标为(-2-2

∴∠AOP=AOH+POH=45°+45°=90°

3)设ACy轴于点D,由点A-44)得,AOB=AOD=45°

∵∠CAO=BAOAO=AO

∴△AOD≌△AOB

OD=OB=3,点D坐标为(03),

设直线AC解析式为y=px+q,则

解得

直线AC解析式为yx+3

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