题目内容

【题目】已知抛物线y=ax2+bx-3经过(-1,0),(3,0)两点,与y轴交于点C,直线y=kx与抛物线交于A,B两点.

(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式;

(2)当原点O为线段AB的中点时,求k的值及A,B两点的坐标;

(3)是否存在实数k使得△ABC的面积为?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

【答案】1y=x2﹣2x﹣3;(2)当原点O为线段AB的中点时,k的值为﹣2,点A的坐标为(2),点B的坐标为(﹣2).(3)不存在,理由详见解析.

【解析】试题分析:(1)令x=0求出y值即可得出C点的坐标,又有点(﹣10)、(30),利用待定系数法求抛物线的解析式即可;(2)将正比例函数解析式代入抛物线解析式中,找出关于x的一元二次方程,根据根与系数的关系即可得出“xA+xB=2+kxAxB=﹣3”,结合点O为线段AB的中点即可得出xA+xB=2+k=0,由此得出k的值,将k的值代入一元二次方程中求出xAxB,在代入一次函数解析式中即可得出点AB的坐标;(3)假设存在,利用三角形的面积公式以及(2)中得到的“xA+xB=2+kxAxB=﹣3”,即可得出关于k的一元二次方程,结合方程无解即可得出假设不成立,从而得出不存在满足题意的k值.

试题解析:(1)令抛物线y=ax2+bx﹣3x=0,则y=﹣3

C的坐标为(0﹣3).

抛物线y=ax2+bx﹣3经过(﹣10),(30)两点,

,解得:

此抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3

2)将y=kx代入y=x2﹣2x﹣3中得:kx=x2﹣2x﹣3

整理得:x22+kx﹣3=0

∴xA+xB=2+kxAxB=﹣3

原点O为线段AB的中点,

∴xA+xB=2+k=0

解得:k=﹣2

k=﹣2时,x22+kx﹣3=x2﹣3=0

解得:xA=﹣xB=

∴yA=﹣2xA=2yB=﹣2xB=2

故当原点O为线段AB的中点时,k的值为﹣2,点A的坐标为(2),点B的坐标为(﹣2).

3)假设存在.

由(2)可知:xA+xB=2+kxAxB=﹣3

SABC=OC|xA﹣xB|=×3×=

2+k2﹣4×﹣3=10,即(2+k2+2=0

2+k2非负,无解.

故假设不成立.

所以不存在实数k使得△ABC的面积为

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