题目内容
如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=2
,AB=3
,BD平分∠ABC,E为BD延长线上一点,且∠E=45°,求AE之长.
5 |
5 |
考点:等腰三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形
专题:
分析:过C作CF∥BD,交AB延长线于F,过A作AQ⊥BE于Q,根据勾股定理求出AC,根据角平分线性质求出AD、CD,根据勾股定理求出BD,证△AQD∽△BCD,求出AQ,即可求出答案.
解答:解:
在Rt△ACB中,∠ACB=90°,BC=2
,AB=3
,由勾股定理得:AC=
=5,
过C作CF∥BD,交AB延长线于F,过A作AQ⊥BE于Q,
则∠1=∠F,∠2=∠3,
∵BD平分∠ABC,
∴∠1=∠2,
∴∠3=∠F,
∴BC=BF,
∵BD∥CF,
∴
=
=
∴
=
,
∴AD=3,
∴CD=5-3=2,
在Rt△DCB中,由勾股定理得:BD=
=
=2
∵∠ACB=90°,AQ⊥BD,
∴∠AQD=∠DCB,
∵∠ADQ=∠BDC,
∴△ADQ∽△BDC,
∴
=
,
∴
=
,
∴AQ=
,
∵AQ⊥BE,
∴∠AQE=90°,
∵∠E=45°,
∴∠EAQ=∠E=45°,
∴EQ=AQ=
,
由勾股定理得:AE=
=
.
在Rt△ACB中,∠ACB=90°,BC=2
5 |
5 |
AB2-BC2 |
过C作CF∥BD,交AB延长线于F,过A作AQ⊥BE于Q,
则∠1=∠F,∠2=∠3,
∵BD平分∠ABC,
∴∠1=∠2,
∴∠3=∠F,
∴BC=BF,
∵BD∥CF,
∴
AD |
DC |
AB |
BF |
AB |
BC |
∴
AD |
5-AD |
3
| ||
2
|
∴AD=3,
∴CD=5-3=2,
在Rt△DCB中,由勾股定理得:BD=
BC2+CD2 |
(2
|
6 |
∵∠ACB=90°,AQ⊥BD,
∴∠AQD=∠DCB,
∵∠ADQ=∠BDC,
∴△ADQ∽△BDC,
∴
AD |
BD |
AQ |
BC |
∴
3 | ||
2
|
AQ | ||
2
|
∴AQ=
| ||
2 |
∵AQ⊥BE,
∴∠AQE=90°,
∵∠E=45°,
∴∠EAQ=∠E=45°,
∴EQ=AQ=
| ||
2 |
由勾股定理得:AE=
(
|
15 |
点评:本题考查了相似三角形的性质和判定,等腰三角形的判定,勾股定理,角平分线定义的应用,综合性比较强,有一定的难度.
练习册系列答案
相关题目
截至8月21日,第十一号台风“尤特”致广西受灾人数升至1320000.1320000用科学记数法应表示为( )
A、132×104 |
B、13.2×105 |
C、1.32×106 |
D、0.132×107 |