题目内容
（2013•龙岩）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；
（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；
（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据勾股定理及菱形的性质，求出菱形的周长；
（2）在动点M、N运动过程中：①当0＜t≤40时，如答图1所示，②当40＜t≤50时，如答图2所示．分别求出S的关系式，然后利用二次函数的性质求出最大值；
（3）如答图3所示，在Rt△PKD中，DK长可求出，则只有求出tan∠DPK即可．为此，在△ODM中，作辅助线，构造Rt△OND，作∠NOD平分线OG，则∠GOF=∠DPK．在Rt△OGF中，求出tan∠GOF的值，从而问题解决．解答中提供另外一种解法，请参考．
（2）在动点M、N运动过程中：①当0＜t≤40时，如答图1所示，②当40＜t≤50时，如答图2所示．分别求出S的关系式，然后利用二次函数的性质求出最大值；
（3）如答图3所示，在Rt△PKD中，DK长可求出，则只有求出tan∠DPK即可．为此，在△ODM中，作辅助线，构造Rt△OND，作∠NOD平分线OG，则∠GOF=∠DPK．在Rt△OGF中，求出tan∠GOF的值，从而问题解决．解答中提供另外一种解法，请参考．
解答：解：（1）在菱形ABCD中，
∵AC⊥BD
∴AD=
=50．
∴菱形ABCD的周长为200．
（2）过点M作MP⊥AD，垂足为点P．
①当0＜t≤40时，如答图1，
∵sin∠OAD=
=
=
，
∴MP=AM•sin∠OAD=
t．
S=
DN•MP=
×t×
t=
t2；
②当40＜t≤50时，如答图2，MD=70-t，
∵sin∠ADO=
=
=
，∴MP=
（70-t）．
∴S△DMN=
DN•MP=
×t×
（70-t）=-
t2+28t=-
（t-35）2+490．
∴S=
当0＜t≤40时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480．
当40＜t≤50时，S随t的增大而减小，当t=40时，最大值为480．
综上所述，S的最大值为480．
（3）存在2个点P，使得∠DPO=∠DON．
方法一：如答图3所示，过点N作NF⊥OD于点F，
则NF=ND•sin∠ODA=30×
=24，DF=ND•cos∠ODA=30×
=18．
∴OF=12，∴tan∠NOD=
=
=2．
作∠NOD的平分线交NF于点G，过点G作GH⊥ON于点H，则FG=GH．
∴S△ONF=
OF•NF=S△OGF+S△OGN=
OF•FG+
ON•GH=
（OF+ON）•FG．
∴FG=
=
=
，
∴tan∠GOF=
=
=
．
设OD中垂线与OD的交点为K，由对称性可知：∠DPK=
∠DPO=
∠DON=∠FOG
∴tan∠DPK=
=
=
，
∴PK=
．
根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P′．
∴存在两个点P到OD的距离都是
．
方法二：答图4所示，作ON的垂直平分线，交OD的垂直平分线EF于点I，连结OI，IN．
过点N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分别为G，H．
当t=30时，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，
∴
=
=
，即
=
=
．
∴NG=24，DG=18．
∵EF垂直平分OD，
∴OE=ED=15，EG=NH=3．
设OI=R，EI=x，则
在Rt△OEI中，有R2=152+x2 ①
在Rt△NIH中，有R2=32+（24-x）2 ②
由①、②可得：
∴PE=PI+IE=
．
根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P′也满足条件．
∴存在两个点P，到OD的距离都是
．
（注：只求出一个点P并计算正确的扣（1分）．）
∵AC⊥BD
∴AD=
| 302+402 |
∴菱形ABCD的周长为200．
（2）过点M作MP⊥AD，垂足为点P．
①当0＜t≤40时，如答图1，
∵sin∠OAD=
| MP |
| AM |
| OD |
| AD |
| 3 |
| 5 |
∴MP=AM•sin∠OAD=
| 3 |
| 5 |
S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 10 |
②当40＜t≤50时，如答图2，MD=70-t，
∵sin∠ADO=
| MP |
| MD |
| AO |
| AD |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴S△DMN=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
∴S=
|
当0＜t≤40时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480．
当40＜t≤50时，S随t的增大而减小，当t=40时，最大值为480．
综上所述，S的最大值为480．
（3）存在2个点P，使得∠DPO=∠DON．
方法一：如答图3所示，过点N作NF⊥OD于点F，
则NF=ND•sin∠ODA=30×
| 40 |
| 50 |
| 30 |
| 50 |
∴OF=12，∴tan∠NOD=
| NF |
| OF |
| 24 |
| 12 |
作∠NOD的平分线交NF于点G，过点G作GH⊥ON于点H，则FG=GH．
∴S△ONF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴FG=
| OF•NF |
| OF+ON |
| 12×24 | ||
12+12
|
| 24 | ||
1+
|
∴tan∠GOF=
| GF |
| OF |
| ||||
| 12 |
| 2 | ||
1+
|
设OD中垂线与OD的交点为K，由对称性可知：∠DPK=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴tan∠DPK=
| DK |
| PK |
| 15 |
| PK |
| 2 | ||
1+
|
∴PK=
15(
| ||
| 2 |
根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P′．
∴存在两个点P到OD的距离都是
15(
| ||
| 2 |
方法二：答图4所示，作ON的垂直平分线，交OD的垂直平分线EF于点I，连结OI，IN．
过点N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分别为G，H．
当t=30时，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，
∴
| DN |
| DA |
| NG |
| AO |
| DG |
| OD |
| 30 |
| 50 |
| NG |
| 40 |
| DG |
| 30 |
∴NG=24，DG=18．
∵EF垂直平分OD，
∴OE=ED=15，EG=NH=3．
设OI=R，EI=x，则
在Rt△OEI中，有R2=152+x2 ①
在Rt△NIH中，有R2=32+（24-x）2 ②
由①、②可得：
|
∴PE=PI+IE=
15+15
| ||
| 2 |
根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P′也满足条件．
∴存在两个点P，到OD的距离都是
15+15
| ||
| 2 |
（注：只求出一个点P并计算正确的扣（1分）．）
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形、等腰三角形、中垂线、勾股定理、解直角三角形、二次函数极值等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问中，动点M在线段AO和OD上运动时，是两种不同的情形，需要分类讨论；第（3）问中，满足条件的点有2个，注意不要漏解．
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