Question

【题目】已知，AB是⊙O的直径，AB=8，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC=5，PT为⊙O的切线，切点为T.

⑴如图⑴，当C点运动到O点时，求PT的长;

⑵如图⑵，当C点运动到A点时，连结PO、BT，求证：PO∥BT;

⑶如图⑶，设，，求与的函数关系式及的最小值.

Answer 1

【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）y=x2-8x+25，9.

【解析】

试题分析：（1）连接OT，根据题意，由勾股定理可得出PT的长；

（2）连接OT，则OP平分劣弧AT，则∠AOP=∠B，从而证出结论；

（3）设PC交⊙O于点D，延长线交⊙O于点E，由相交弦定理，可得出CD的长，再由切割线定理可得出y与x之间的关系式，进而求得y的最小值．

试题解析：（1）连接OT

∵PC=5，OT=4，

∴由勾股定理得，PT=；

（2）连接OT，∵PT，PC为⊙O的切线，

∴OP平分劣弧AT，

∴∠POA=∠POT，

∵∠AOT=2∠B，

∴∠AOP=∠B，

∴PO∥BT；

（3）设PC交⊙O于点D，延长线交⊙O于点E，

由相交弦定理，得CD2=ACBC，

∵AC=x，∴BC=8-x，

∴CD=，

∴由切割线定理，得PT2=PDPE，

∵PT2=y，PC=5，

∴y=[5-][5+]，

∴y=25-x（8-x）=x2-8x+25，

∴y最小==9．