题目内容
【题目】已知,AB是⊙O的直径,AB=8,点C在⊙O的半径OA上运动,PC⊥AB,垂足为C,PC=5,PT为⊙O的切线,切点为T.
⑴如图⑴,当C点运动到O点时,求PT的长;
⑵如图⑵,当C点运动到A点时,连结PO、BT,求证:PO∥BT;
⑶如图⑶,设,
,求
与
的函数关系式及
的最小值.
【答案】(1)3;(2)证明见解析;(3)y=x2-8x+25,9.
【解析】
试题分析:(1)连接OT,根据题意,由勾股定理可得出PT的长;
(2)连接OT,则OP平分劣弧AT,则∠AOP=∠B,从而证出结论;
(3)设PC交⊙O于点D,延长线交⊙O于点E,由相交弦定理,可得出CD的长,再由切割线定理可得出y与x之间的关系式,进而求得y的最小值.
试题解析:(1)连接OT
∵PC=5,OT=4,
∴由勾股定理得,PT=;
(2)连接OT,∵PT,PC为⊙O的切线,
∴OP平分劣弧AT,
∴∠POA=∠POT,
∵∠AOT=2∠B,
∴∠AOP=∠B,
∴PO∥BT;
(3)设PC交⊙O于点D,延长线交⊙O于点E,
由相交弦定理,得CD2=ACBC,
∵AC=x,∴BC=8-x,
∴CD=,
∴由切割线定理,得PT2=PDPE,
∵PT2=y,PC=5,
∴y=[5-][5+
],
∴y=25-x(8-x)=x2-8x+25,
∴y最小==9.

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