题目内容

如图，已知抛物线 $数学公式$ 的顶点坐标为（2，1），且经过点B（ $数学公式$ ），抛物线对称轴左侧与x轴交于点A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线解析式y₁和直线BC的解析式y₂；
（2）连接AB、AC，求△ABC的面积．
（3）根据图象直接写出y₁＜y₂时自变量x的取值范围．

解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，1），
∴y₁=a（x-2）²+1，
∵抛物线经过点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴a（ $\text{[math]}$ -2）²+1= $\text{[math]}$ ，
解得a=-1，
∴y₁=-（x-2）²+1=-x²+4x-3，
当x=0，y=-3，
∴C（0，-3），
设直线BC解析式为y₂=kx+b（k≠0），
则有 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．

所以，直线BC的解析式为y₂= $\text{[math]}$ x-3；

（2）对于y₁=-x²+4x-3，当y=0时，-x²+4x-3=0，
即x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
∴点A的坐标为（1，0），
设直线BC与x轴相交于D，
对于y₂= $\text{[math]}$ x-3，当y=0时， $\text{[math]}$ x-3=0，
解得x=2，
∴点D的坐标为（2，0），
∴AD=2-1=1，
则S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，
= $\text{[math]}$ AD•|y_B|+ $\text{[math]}$ AD•|y_C|= $\text{[math]}$ ×1× $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ×1×3= $\text{[math]}$ ；

（3）由图得，当x＜0或x＞ $\text{[math]}$ 时，y₁＜y₂．
分析：（1）设抛物线顶点式解析式y₁=a（x-2）²+1，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可求出抛物线解析式；令x=0求出点C的坐标，再设直线BC的解析式y₂=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）令y=0，利用抛物线解析式求出点A的坐标，设直线BC与x轴的交点为D，利用直线BC的解析式求出点D的坐标，然后根据S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，列式进行计算即可得解；
（3）根据图形，找出直线BC在抛物线上方部分的x的取值范围即可．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式、直线解析式），三角形的面积求解，利用函数图象解不等式，（1）利用顶点式解析式求解更加简便，（2）把△ABC分解成两个三角形求面积是解题的关键．