在矩形ABCD中.AB=6cm.BC=12cm.点P从点A出发.沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动.同时.点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．如果P.Q两点在分别到达B.C两点后就停止移动.回答下列问题:(1)运动开始后第几秒时.△PBQ的面积等于8cm2?(2)设运动开始后第t秒时.五边形APQCD的面积为Scm2.写出S与t的函数关系式.并指出自变量t� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm²？
（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm²，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；写出t为何值时，s的值最小．
（3）当t=

时，试判断△DPQ的形状．
（4）计算四边形DPBQ的面积，并探索一个与计算结果有关的结论．

分析：（1）设出运动所求的时间，可将BP和BQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；
（2）设运动时间为t，首先表示出△PBQ的面积，再利用S_{五边形APQCD}=S_矩形ABCD-S_△PBQ，求出t的值以及五边形最值即可即可；
（3）表示出DP²=146.25，PQ²=29.25，DQ²=117，进而得到PQ²+DQ²=DP²，得出答案；
（4）根据表示出四边形面积，求出即可．

解答：解：（1）设经过t秒，△PBQ的面积等于8cm²则：
BP=6-t，BQ=2t，
所以S_△PBQ=

×（6-t）×2t=8，即t²-6t+8=0，
可得：t=2或4，即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm²．

（2）根据（1）中所求出的S_△PBQ=

PB•BQ=

×（6-t）×2t，
整理得S_△PBQ=-t²+6t（0＜t＜6）．
则S_{五边形APQCD}=S_矩形ABCD-S_△PBQ=72-（-t²+6t）=t²-6t+72=（t-3）²+63（0＜t＜6），
当t=-

=3时，S_{五边形APQCD}=63，
故当t=3秒，五边形APQCD的面积最小，最小值是63cm²，

（3）当t=1.5s时，
RP=1.5，BP=4.5，CQ=9，
∴DP²=146.25，PQ²=29.25，DQ²=117，
∴PQ²+DQ²=DP²，
∴△DPQ为Rt△；

（4）S_DPBQ=6×12-

t×12-

×6（12-2t），
=72-36，
=36，
∴四边形DPBQ的面积是固定值36．

点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，是典型的动点问题，涉及到矩形及三角形的面积公式，二次函数的最值问题，比较简单．